7.3 Частотные критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертого-пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают наглядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характеристик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только определить устойчивость системы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.

7.3.1 Критерий Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (7.9). Заменим в нем оператор p на . Тогда кривой Михайлова будет называться функция вида

. (7.15)

Выделим в (7.15) действительную и мнимую части:

(7.16)

Разложим на множители

,

где l_i – корни данного уравнения, i=1…n.

Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корню l_i на комплексной плоскости соответствует некоторая точка A_i. Если соединить эту точку с нулем, то можно говорить о векторе (рис. 7.3). Длина вектора равна модулю комплексного числа l_i, а угол, образуемый положительной действительной осью и вектором l_i, есть аргумент комплексного числа l_i.

Рис. 7.3 Размещение корня

характеристического уравнения

на комплексной плоскости

Рассмотрим, как будет вести себя вектор при изменении частоты от -∞ до +∞. Считаем движение против часовой стрелки положительным. Заметим, что , а (см. рис. 7.3). Тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты , вектор описывает угол +p . Для корней, находящихся в правой полуплоскости, вектор при изменении частоты опишет угол -p­ .

Будем полагать, что порядок системы равен п, причем m корней положительно. Тогда остальные п-т корней будут отрицательны. Суммарный угол поворота всех векторов будет определяться выражением:

. (7.17)

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +∞ приращение аргумента будет вдвое меньше:

. (7.18)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все правые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит для устойчивости системы необходимо соблюдение условий

(7.19)

(7.20)

Выражения (7.19) и (7.20) представляют собой математическую формулировку критерия Михайлова.

Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплексной плоскости Re(ω), Im(ω) носит название годографа Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начав свое движение с положительной полуоси, последовательно проходил n квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в ноль (рис. 7.4).

Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравнений (7.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом поочередно.

Очевидно, что, если годограф Михайлова не проходит последовательно n квадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то система неустойчива.

Рис. 7.4. Годографы Михайлова устойчивых САУ 1…4 порядка