7.2 Алгебраические критерии устойчивости
К алгебраическим критериям устойчивости линейных САУ относятся критерии А. Гурвица и Э. Рауса.
7.2.1 Критерий Гурвица Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением n-го порядка
, (7.9)
устойчива, если при a0>0 положительны все диагональные определители (определители Гурвица) ∆1, ∆2, …, ∆n , т. е.
, (7.10)
где ∆1=a1,
∆2 =
a1a2
- a0a3,
∆3 =
a3(a1a2
-
a0a3),…
.
Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п= 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1…4 порядка. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n=1)
условие устойчивости: а0>0 и
∆1=а1>0, т.е. для
устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты
характеристического уравнения были
больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n=2)
условие устойчивости:
.
Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n=3)
условие
устойчивости:
При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
.
Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица ∆п-1 были положительными.
Запасом устойчивости САУ по
алгебраическому критерию Гурвица
считается некоторая величина
,
при которой самый минимальный определитель
Гурвица не должен быть меньше этой
величины, т. е. при
.
Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При n>4 целесообразно применять критерий Рауса.
7.2.2 Критерий Рауса
Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу
. (7.11)
Формулировка критерия: САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а1), рассчитываемые по выражению:
, (7.12)
где i – номер строки, j – номер столбца.
Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Рассмотрим пример.
Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:
(7.13)
В соответствие с (7.12) имеем:
Все коэффициенты первого столбца таблицы (7.11) положительны, что означает - система устойчива.
Проверим полученный результат с помощью системы программирования Matlab, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения. Для этого воспользуемся функцией “pole”. Ниже приведен скрипт и результат вычисления корней, а также их расположение на комплексной плоскости (рис. 7.1).
>> num1=[1]; den1=[1024 1024 512 128 16 0]; sys1=tf(num1,den1);
>> sys=feedback(sys1,[1])
>> Transfer function:
1
--------------------------------------------------
1024 s^5 + 1024 s^4 + 512 s^3 + 128 s^2 + 16 s + 1
>> pole(sys)
ans =
-0.2804 + 0.3267i
-0.2804 - 0.3267i
-0.2500
-0.0946 + 0.1101i
-0.0946 - 0.1101i
>> pzmap(sys).
Рис. 7.1 Расположение корней характеристического полинома
(7.13) на комплексной плоскости
Как видим, корни имеют отрицательные действительные части, а, значит, система устойчива.
Рассмотрим еще один пример. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид
(7.14)
В соответствие с (7.12) имеем:
Система неустойчива, причем имеет место две перемены знака среди коэффициентов 1-го столбца таблицы Рауса, а, следовательно, два корня с правыми корнями. Ниже приведены скрипт Matlab и картина расположения корней на комплексной плоскости (рис. 7.2).
>> num=[1];
>> den=[1 1 2 8];
>> sys=tf(num,den)
Transfer function:
1
-------------------
s^3 + s^2 + 2 s + 8
>> pole(sys)
ans =
-2.0954
0.5477 + 1.9988i
0.5477 - 1.9988i
>> pzmap(sys).
Рис. 7.2 Расположение корней характеристического полинома
(7.14) на комплексной плоскости