7. Устойчивость линейных систем управления

Устойчивость САУ – одно из необходимых, но не достаточных условий ее функционирования. Проблема неустойчивости системы, как правило, обусловлена стремлением обеспечить качество САУ (достаточное условие функционирования) за счет введения корректирующих звеньев и обратных связей по контролируемым координатам. Вместе с тем, в ряде случаев именно введение обратной связи делает устойчивой систему, неустойчивую в разомкнутом состоянии.

Поскольку большинство реальных САУ являются нелинейными, то необходимо четко представлять, когда оценка устойчивости линеаризованной модели системы является правомочной. А. М. Ляпуновым сформулированы следующие условия устойчивости системы по ее линеаризованной модели:

1) если линейная система устойчива, то устойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут изменить ее устойчивости;

2) если линейная система неустойчива, то неустойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут сделать ее устойчивой;

3) если линейная система находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости реальной САУ нельзя, и необходим анализ отброшенных при линеаризации членов.

Необходимо различать устойчивость “в малом” и устойчивость “в большом”. Система является устойчивой “в малом”, если она обладает ограниченной реакцией на ограниченное входное воздействие (задающее или возмущающее). Система устойчива “в большом”, если она устойчива при любых значениях входных воздействий.

7.1 Характеристическое уравнение линейной сау

Устойчивость линейных систем не зависит от величины входных воздействий. Если линейная система устойчива, то в такой системе свободный (собственный) процесс, как отмечалось в разделе 5.2, с течением времени стремится к нулю.

Свободный процесс определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего замкнутую линейную систему, или корнями характеристического уравнения передаточной функции замкнутой САУ.

Дифференциальное уравнение свободного движения одномерной линейной системы имеет вид

. (7.1)

Решение этого уравнения представляет собой сумму затухающих экспонент

, (7.2)

где - постоянные, определяемые начальными условиями,

- корни характеристического уравнения системы

. (7.3)

Рассмотрим подробнее понятие характеристического уравнения, оперируя понятием передаточной функции.

Любую одноконтурную замкнутую линейную САУ можно представить в виде передаточной функции

, (7.4)

где - передаточная функция прямого канала САУ (от входного воздействия до выхода),

; (7.5)

- передаточная функция канала обратной связи (от выхода до входного воздействия),

. (7.6)

Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как , т. е.

. (7.7)

Тогда с учетом (7.2) – (7.4) характеристическое уравнение замкнутой САУ будет иметь вид

. (7.8)

Очевидно, что полином (7.8) знаменателя передаточной функции замкнутой САУ можно представить в виде (7.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.

Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции (7.4) имели отрицательные действительные части или все корни ее характеристического уравнения (7.8) были левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система находится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить характер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.