6.3 Диаграмма Боде. Асимптотические частотные характеристики

На рис 6.3 приведена диаграмма Боде рассматриваемой выше частотной передаточной функции (6.11) апериодического звена. Это диаграммы ЛАЧХ и ЛФЧХ, рассматриваемые в едином масштабе изменения частоты .

Сплошными линиями на рис. 6.3 изображены фактические ЛАЧХ и ЛФЧХ, а пунктирными – так называемые асимптотические частотные характеристики.

Частоту , при которой происходит изменение наклона асимптотической ЛАЧХ, называют частотой излома или сопрягающей частотой. Для рассматриваемого апериодического звена наклон асимптотической ЛАЧХ уменьшается на 20 децибел на декаду (-20дБ/дек). Декадой называют расстояние между двумя частотами, отличающимися в 10 раз. Заметим, что фактическое изменение ЛАЧХ (см. рис. 6.3) на частоте излома составит

дБ.

Фаза частотной характеристики апериодического звена на частоте излома составляет половину максимального изменения, т. е. выходной сигнал на сопрягающей частоте отстает от входного сигнала на угол .

Основным преимуществом логарифмических частотных характеристик и диаграмм Боде на их основе состоит в том, что сомножители вида , входящие в частотную передаточную функцию, позволяют легко строить ЛАЧХ и ЛФЧХ путем простого алгебраического сложения характеристик, соответствующих каждому отдельному сомножителю.

Действительно, пусть частотная передаточная функция имеет достаточно общий вид

Рис 6.3 Диаграмма Боде для частотной передаточной функции (6.11)

. (6.15)

Эта передаточная функция имеет M отрицательных нулей, N полюсов в начале координат, Q отрицательных полюсов на действительной оси и R пар комплексно-сопряженных полюсов. Выражение для ее ЛАЧХ имеет вид

(6.16)

ЛФЧХ САУ получается аналогично путем алгебраического сложения характеристик, соответствующих ЛФЧХ отдельных сомножителей, т. е.

. (6.17)

Диаграммы Боде служат для оценки абсолютной устойчивости и относительной устойчивости системы (запасов устойчивости по модулю и фазе). Они применяются также для синтеза САУ методом частотных характеристик [1-5], определения полосы пропускания, резонансных частот и др. Кроме того, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно определить передаточную функцию системы (идентифицируемая САУ предположительно должна принадлежать классу линейных систем управления).

В системе программирования MATLAB имеется специальная функция bode, позволяющая построить графики логарифмических частотных характеристик.

Пусть разомкнутая система описывается передаточной функцией второго порядка в виде колебательного звена

.

Запишем простой скрипт Matlab для построения диаграммы Боде:

>> num=10;

>> den=[1 0.5 1];

>> sys=tf(num,den);

>> bode(sys).

На рис. 6.4 приведена диаграмма Боде данного звена.

Рис. 4.4 Диаграмма Боде колебательного звена

Заметим, что на частоте собственных колебаний, равной 1 рад/с, имеет место увеличение коэффициента усиления системы и увеличение фазового сдвига.

Для приближенной оценки устойчивости и качества САУ используют асимптотические частотные характеристики.

При построении асимптотических амплитудных частотных характеристик принимают, что на частотах излома, соответствующих полюсам передаточных функций происходит завал ЛАЧХ на 20 децибел на декаду, т. е. на

-20дБ/дек, а на частотах излома, соответствующих нулям передаточных функций происходит подъем ЛАЧХ на 20 децибел на декаду (+20дБ/дек). При этом интегрирующее звено в передаточной функции разомкнутой ЛАЧХ обеспечивает линейное спадание ЛАЧХ с наклоном -20 дБ на декаду, а дифференцирующее звено – линейный подъем ЛАЧХ на +20 дБ на декаду.

При построении асимптотических фазовых частотных характеристик принимают, что на частотах излома, соответствующих полюсам передаточных функций, фазовое запаздывание соответствует -45˚, а на частотах излома, соответствующих нулям передаточных функций, опережение по фазе составляет +45˚. Таким образом, общий фазовый сдвиг, вносимый соответственно нулями и полюсами, соответствует ±90˚ на две декады.

На низких частотах, определяющих установившиеся режимы работы САУ, фазовый сдвиг определяется наличием и числом интегрирующих и дифференцирующих звеньев. При их отсутствии фазовый сдвиг равен нулю. На высоких частотах фазовое запаздывание равно разности полюсов и нулей, умноженной на 90˚.

Для основных типовых сомножителей передаточных функций асимптотические частотные характеристики приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Асимптотические частотные характеристики типовых сомножителей

частотных передаточных функций

Сомножитель	ЛАЧХ	ЛФЧХ
1	2	3
1. Константа
2. Нуль
3. Полюс

Таблица 6.2 (продолжение)

Сомножитель	ЛАЧХ	ЛФЧХ
1	2	3
4. Полюс в начале координат
5. Два комплексных полюса