6. Метод частотных характеристик
Метод частотных характеристик основывается на исследовании в установившихся режимах реакции системы на синусоидальный тестовый сигнал. При этом изменяют частоту входного сигнала во всем возможном диапазоне и анализируют изменение амплитуды и фазы выходного сигнала. Метод является альтернативой исследования систем во временной области и оценки устойчивости и качества САУ по расположению полюсов и нулей передаточной функции на комплексной плоскости.
6.1 Частотные передаточные функции
Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамической системы управления. В теории автоматического управления она используется, когда необходимо получить частотные характеристики системы по ее передаточной функции.
Для однозначного преобразования
некоторой непрерывной функции времени
в функцию частоты
служит прямое преобразование (изображение)
Фурье [1, 2]
. (6.1)
Частотной передаточной функцией системы называется отношение изображения Фурье ее выходной переменной к изображению Фурье входной переменной.
Если непрерывная функция времени равна
нулю при t <
0, то частотная передаточная функция
системы легко может быть найдена по ее
передаточной функции при подстановке
,
где p – символ
преобразования Лапласа, т. е.
(6.2)
Функция
может быть представлена в показательной
форме или в форме координат вектора на
комплексной плоскости в следующем
виде:
(6.3)
где
- модуль частотной передаточной функции,
-
аргумент или фаза частотной передаточной
функции;
- соответственно вещественная и
мнимая составляющие частотной передаточной
функции.
Из теории комплексных чисел [1, 2] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:
, (6.4)
. (6.5)
Изменение модуля и аргумента частотной передаточной функции при изменении частоты входного сигнала дает полезную информацию, необходимую для анализа и синтеза систем управления в частотной области.
Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
6.2 Частотные характеристики сау
Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элементарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.
Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие:
(6.6)
где
- амплитуда;
- угловая частота этого воздействия.
Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет также представлять собой гармоническую функцию:
(6.7)
где
- амплитуда;
- угол сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к входному (сдвиг по фазе).
С учетом введенных обозначений модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к амплитуде входного в установившемся режиме, т. е.
, (6.8)
а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной величине на данной частоте.
Таким образом, амплитудная частотная характеристика (АЧХ) отражает изменение амплитуды выходного сигнала звена при пропускании звеном входного сигнала различной частоты. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах входного сигнала.
Амплитудно-фазовая частотная
характеристика (АФЧХ) строится в
полярных координатах
на комплексной плоскости
.
Она представляет собой геометрическое
место концов вектора (годограф),
соответствующих частотной передаточной
функции
при изменении частоты от нуля до
бесконечности.
Н
а
рис. 6.1 в качестве примера приведена
АФЧХ динамического звена (фильтра)
третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ
откладывается вещественная часть
,
а по оси ординат - мнимая часть
.
Годограф описывает изменение амплитуды
и фазы
выходного сигнала при изменении частоты
входного сигнала. Заметим, что при
изменении частоты от нуля до бесконечности
амплитуда годографа уменьшается от
некоторого ненулевого значения до нуля,
а фаза выходного сигнала стремится к
величине -270˚ (вращение годографа против
часовой стрелке принято положительным).
Заметим также, что изменение частоты
от нуля до минус бесконечности
соответствует зеркальному отображению
АФЧХ на комплексной плоскости относительно
оси абсцисс.
Рис. 6.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика динамического
звена третьего порядка
Диапазон изменения частоты
входного сигнала теоретически равен
бесконечности. Поэтому часто при анализе
и синтезе систем автоматического
управления используются логарифмические
частотные характеристики (диаграмму
Боде) - логарифмические амплитудные
частотные характеристики (ЛАЧХ) и
логарифмические фазовые частотные
характеристики (ЛФЧХ), когда по оси
абсцисс круговая частота
откладывается в логарифмическом
масштабе. При этом ЛАЧХ определяют
выражением
. (6.9)
В табл. 6.1 приведены соотношения,
связывающие модуль частотной передаточной
функции
и ее логарифмический эквивалент
,
выражаемый в децибелах.
Таблица 6.1
Соотношения между значением модуля частотной передаточной функции
и ее логарифмическим эквивалентом в децибелах
|
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
100 |
1000 |
|
-60 |
-40 |
-20 |
0 |
20 |
40 |
60 |
В качестве примера рассмотрим простейшее инерционное звено (апериодический фильтра 1-го порядка), описываемое передаточной функцией
, (6.10)
где T – постоянная времени фильтра.
Частотная передаточная функция этого звена
. (6.11)
Домножая числитель и знаменатель (6.11) на комплексно сопряженное знаменателю выражение и выделяя действительную и мнимую части, получим
(6.12)
или в показательной форме
, (6.13)
где 
- модуль частотной характеристики,
- аргумент частотной характеристики.
Выражение для ЛАЧХ апериодического фильтра
. (6.14)
АФЧХ апериодического фильтра можно получить, используя выражения (6.12) или (6.13) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Она имеет вид полуокружности с центром в точке (1/2, 0) комплексной плоскости (рис. 6.2).
Рис. 6.2 АФЧХ
апериодического звена