5.4 Представление сау в виде сигнальных графов. Правило Мейсона при преобразовании структурных схем

Структура любой системы управления может быть представлена в виде сигнального графа (графа прохождения сигналов в САУ). Граф представляет собой некоторое множество определенным образом связанных элементов (вершин или, иначе, узлов графа) и ребер (дуг или, иначе, ветвей графа). Основные свойства сигнального графа:

1. Каждая вершина графа отображает одну из переменных (координат состояния) системы, а, следовательно, элементы графа и элементы системы – понятия различные. Графическое изображение вершины графа – окружность или точка.

2. Каждое ребро (дуга) графа отображает, с одной стороны, направление прохождения сигнала, с другой – закон преобразования входной переменной в выходную. Это означает, что каждому ребру графа может быть поставлено в соответствие свое уравнение связи, например в виде передаточной функции. Графическое изображение ребра графа – линия со стрелкой.

3. Если к вершине графа подходит несколько ребер, то соответствующая ей величина равна сумме выходных величин входящих ребер, что делает ненужным использование в графах суммирующих элементов.

4. Если из вершины графа исходит несколько ребер, то входная величина для этих ребер будет одной и той же, что делает ненужным использование в графах точек разветвления.

К сигнальным графам линейных САУ применимы те же правила структурных преобразований, что и к структурным схемам. Например, параллельное соединение звеньев САУ и их преобразование может быть отображено графами, представленными на рис. 5.6.

Р ис. 5.6 Граф параллельно соединенных звеньев и его преобразование

Структурные преобразования сложных многосвязных линейных САУ, опирающиеся на аппарат структурных схем, являются весьма трудоемким процессом. Они требуют применения многочисленных рутинных промежуточных процедур объединения звеньев и установления их передаточных функций. Мейсоном был предложен альтернативный способ взаимосвязи между двумя произвольными переменными системы, опирающийся на теорию графов.

Введем необходимые определения.

Путь – это ребро или последовательность ребер, которые могут быть проведены от одной вершины к другой.

Прямой путь между двумя заданными вершинами – непрерывная последовательность ребер одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более одного раза.

Контур – это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одной вершине, причем вдоль этого пути ни одна другая вершина не встречается дважды.

Некасающиеся контуры – контуры, не имеющие ни одной общей вершины.

В соответствие с правилом Мейсона передаточная функция (ребро) между двумя произвольными вершинами a и b определяется выражением

, (5.16)

где k – число прямых путей между вершинами a и b,

– передаточная функция k-го прямого пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер,

– определитель графа,

– k-й минор определителя графа.

Определитель графа находится по формуле

, (5.17)

где – передаточные функции различных контуров, i – номер контура,

– произведения передаточных функций некасающихся пар контуров (комбинаций из 2-х некасающихся контуров),

– произведения передаточных функций некасающихся троек контуров (комбинаций из 3-х некасающихся контуров) и т. д.

Минор определителя графа равен определителю графа при удалении k-го пути (всех ребер и вершин, лежащих на k-м пути).

В качестве примера составления сигнального графа САУ рассмотрим математическую модель электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря, рассмотренную в гл. 5.2, 5.3. В качестве регулируемой координаты примем угол поворота вала электродвигателя. Это означает, что выходная координата электродвигателя будет являться интегралом от угловой скорости двигателя и в структурной схеме электродвигателя (см. рис. 5.5) на ее выходе добавится пятое звено с передаточной функцией . Сигнальный граф электродвигателя приведен на рис. 5.7. Передаточные функции (ребра графа) имеют вид:

, ,

, , .

Рис. 5.7 Сигнальный граф электродвигателя постоянного тока

Определим передаточную функцию (ребро графа) между двумя вершинами A и B с помощью формулы Мейсона, полагая момент нагрузки на валу двигателя M_c = 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами A и B, т. е. k =1, и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура

,

.

Определитель графа в соответствие с (5.17) и минор определителя графа имеют вид

, .

Передаточная функция электродвигателя соответствие с (5.16)

. (5.18)

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по управлению со стороны цепи якоря после подстановки в (5.18) передаточных функций звеньев будет иметь вид

. (5.19)

Определим передаточную функцию между вершинами C и B, полагая напряжение на якоре двигателя U_я = 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами C и B и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура

,

.

Определитель графа и минор определителя графа имеют вид

, .

Передаточная функция электродвигателя . (5.20)

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по моменту сопротивления на валу после подстановки в (5.20) передаточных функций звеньев будет иметь вид

. (5.21)

Заметим, что полученные с помощью сигнального графа передаточные функции (5.19, 5.21) электродвигателя соответствуют передаточным функциям (5.14, 5.15), полученным на основе дифференциальных уравнений.