1. Використання рівносильних перетворень, і зокрема зведення до алгебраїчної нерівності (за схемою: 1) до одного аргументу, 2) до однієї функції, 3) заміна) і наступне розв’язування одержаних найпростіших тригонометричних нерівностей.

2. Використання методу інтервалів.

Схема розв’язування тригонометричних нерівностей методом інтервалів

1. Звести нерівність до вигляду .

2. Знайти ОДЗ нерівності.

3. Знайти спільний період (якщо він існує) для всіх функцій, що входять до запису нерівності, тобто період функції .

4. Знайти нулі : .

5. Позначити нулі на ОДЗ всередині одного періоду і знайти знаки в кожному інтервалі, на які розбивається ОДЗ (всередині одного періоду).

6. Записати відповідь, ураховуючи період.

Запитання для повторення

1. Які види алгебраїчних рівнянь і нерівностей розв'язують в 10 класі? Розкрити особливості їх розв'язування.

2. Які питання, пов'язані з рівносильністю рівнянь та їх систем, розглядаються в 10 класі?

3. Які види показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей вивчають в 10 класах? Якими способами їх розв'язують? Наведіть конкретні приклади і зразки розв'язань.

4. Які особливості розв'язування тригонометричних рівнянь?

5. Як можна розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності?

6. Які особливості розв'язування рівнянь і нерівностей з модулями?

7. У чому полягає метод проміжків при розв'язуванні нерівностей?

8. Які види ірраціональних рівнянь і нерівностей вивчають в середній школі?

9. Які є способи розв’язування нерівностей < 0, > 0? Як рекомендується розв'язувати такі нерівності в школі?

Методичні задачі

1.Чи правильно учень розв'язав нерівність;

(log_0,5x⁶ < log_0,5x⁴ – 2) (6log_0,5x < 4log_0,5x – 2) (2log_0,5x < –2)

(log_0,5x < 1) (log_0,5x < log_0,52) (x > 2)?

Якщо ні, то в чому тут помилка та як її виправити?

2.Розробити методику розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

3. Розробити методику розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей.

4. Проаналізувати систему вправ на трансцендентні рівняння і нерівності в 10 класі. Скласти свою систему вправ.

5. Тригонометричні рівняння і нерівності, як правило, мають безліч розв'язків. Як виконати перевірку розв'язків, якщо виникне необхідність у цьому?

6. Якщо тригонометричне рівняння можна розв'язати різними способами і при цьому множини розв'язків мають різний вигляд, то як довести рівність цих множин?

7. Навести різні способи розв'язання рівняння sin х + cos х = –1.

8. Розробити методику розв'язування квадратичних нерівностей у 10 класі.

9. Які види найскладніших тригонометричних рівнянь і нерівностей розглядаються в старших класах? Як їх розв'язувати?

10. Розробити систему вправ з розв'язування тригонометричних рівнянь і нерівностей для гурткової роботи і факультативу.

Заняття №2

ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ

МЕТА: Закріпити і поглибити найважливіші відомості про функцію.

ПЛАН

1. Означення функції в сучасній літературі.

2. Пропедевтика поняття функції в початковій школі та курсі математики і початків алгебри в 5 і 6 класах.

3. Методика введення поняття функції в курсі алгебри 7 класу.

4. Методика вивчення окремих видів функцій у курсі алгебри і початків аналізу.

5. Використання наочних посібників та технічних засобів навчання при формуванні поняття функцій.

ЛІТЕРАТУРА

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – 3-те вид., перероб. і доп. – К.: Вища шк., 1989. – 367 с.

2. Грицаєнко М. П. Математичні диктанти для 4-8 класів. – К.: Радянська школа, 1975.

3. Дубинчук О.С. Уроки математики в 5 класі. – К.: Радянська школа, 1972.

4. Дубинчук О.С. Уроки математики в 4 класі. – К.: Радянська школа, 1971.

5. Колмогоров А.Н. Что такое функция. – Квант, 1970, № 1.

6. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 6. / Под ред. А. И. Маркушевича, – М.: Просвещение, 1977.

7. Мальований Ю.І., Слєпкань З.І. Уроки алгебри в 6 класі. – К.: Радянська школа, 1974.

8. Мальований Ю.І., Слєпкань З.І. Уроки алгебри в 9 класі. – К.: Радянська школа, 1977.

9. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с.

10. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 5—11-і класи│В. Г. Бевз, А.Г. Мерзляк, 3.1. Слєпкань

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

─К.:2003р. Навчальна книга С. 4 – 52.

11. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих

шкіл, гімназій, ліцеїв економічного профілю. Математика. 10—11-і

класи │ М.А. Ваинтрауб, О.С. Стрельченко, І.Г. Стрельченко

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

─К.:2003р. Навчальна книга С. 53 – 69.

12. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв природничного профілю. Математика. 10— 11-і класи │Я. С. Бродсъкий, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко, О.М. Афанасьева││Математика.Програма для

загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга

С. 70 – 102.

13. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів,

спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 8—11-і

класи │ МІ. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара,

М. Ядренко││ Математика. Програма для загальноосвітніх

навчальних закладів. ─К.:2003р.Навчальна книга С. 103 – 130.

14. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв фізико-математичногопрофілю.

Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда,М.А. Жалдак, Т. Колесник,

Т.М. Хмара, М. Ядренко ││ Математика. Програма для

загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 131 – 148.

15. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв суспільно-гуманітарного, філологічного, художньо-естетичного та спортивного профілів. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, Ю.І. Мальований││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р.

Програми факультативів, спецкурсів, гуртків

16. Факультативний курс загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 7—9-і класи │ М.І. Бурда, В.Г. Бевз,

Н.С. Прокопенко││Математика. Програма для загальноосвітніх

навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 149 – 159.

17. Слепкань З.И. Методика преподавания алгебры и начал анализа. – К. :

Рад. шк., 1978. – 224 с.

18.СлєпканьЗ.І. Методика навчання математики: Підруч.для студ. мат.

Спеціальностей пед. навч. Закладів.-К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512с.

19. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 10 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 272 с.

20. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 11 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

21.Шилов Г.Е. Что такое функция. – Математика в школе, 1964, № 1.

МЕТОДИЧНІ ЗАУВАЖЕННЯ

Висвітлюючи перше питання плану заняття, треба мати на увазі, що в сучасній науково-методичній літературі поширено два напрями в тлумаченні поняття функції. Означення першого напряму, який називають «класичним», спираються на поняття «змінна величина», або «величина», і відображають в основному потреби застосувань математики в природничих науках та техніці. У рамках «класичного» напряму існує кілька підходів, які надають поняттю функції різний логічний зміст:

1) функцію розглядають як залежну змінну величину;

2)функцію розглядають як закон (або правило), за яким значення залежної змінної величини залежить від значень незалежної змінної;

3) функцію розглядають як відповідність між значеннями змінних величин.

Недоліком означень функції «класичного» напряму є те, що ці означення, по-перше, використовують поняття «величина», зміст якого неможливо розкрити, по-друге, вони не охоплюють відповідностей між множинами, елементи яких не є величини, а мають довільну природу.

Другий напрям в тлумаченні поняття функції, який дістав назву «сучасного», охоплює такі означення, що. використовують поняття «множина», «відповідність між множинами», «відношення». У рамках «сучасного» напряму також існує кілька підходів в трактуванні поняття функції:

1) означають не функцію, а функціональну ситуацію;

2) функцію розглядають як відповідність певного виду між множинами або як відношення певного виду між елементами двох множин;

3) функцію розглядають як закон відповідності між множинами.

Перший підхід використовується в деяких посібниках з математичного аналізу. Зокрема, в посібнику М. А. Фролова поняття функції вводиться так: якщо кожному елементу х множини Е поставлено у відповідність деякий певний елемент у множини М, то кажуть, що на множині Е визначена функція f(х) і пишуть y=f(x).

Множина Е називається областю визначення функції.

Найбільш поширеним тепер є другий підхід, який дає уявлення про функцію як про відношення між елементами множин, при якому кожному елементу однієї множини відповідає не більше одного елемента другої. Останнє трактування прийнято в підручнику алгебри для учнів 6 класу. Термін «функція» ототожнюється з тер­міном «відображення».

У сучасній науковій і навчально-методичній літературі поняттю «відображення» надається також різний логічний зміст.

1. Відображення характеризується заданням:

а) множини Ф, яка відображається (область відправлення),

б) множини Ф₁ в яку відображається множина Ф (область прибуття),

в) образа Н(х) = для кожного елемента х множини Ф (кожен елемент х має один і тільки один образ). (Трактат Бурбаки «Начала математики», книга І).

2. Відображення характеризується заданням:

а) множини Ф, яка відображається;

б) образом Н(х) = х₁ для кожного елемента х множини Ф (кожен елемент х має один і тільки один образ).

При такому тлумаченні відображення не вимагається задання області прибуття (множини Ф₁). Так вперше трактував поняття відображення Дедекінд.

3. Відображення задано, якщо задано множину пар з різними першими елементами. Тут образом першого елемента в кожній парі є другий елемент у тій самій парі. Пропедевтика поняття функції, сучасне означення якого вводиться в 7 класі, здійснюється протягом вивчення курсу математики, починаючи з 1 класу. Засвоєння учнями поняття функції і сприймання його означення залежить від того, наскільки глибоко засвоять учні матеріал уроків, де формується поняття відношення, розглядаються різні види відношень між елементами двох множин. Важливо навести учням яскраві приклади відношень між елементами двох множин, охопивши при цьому основні можливі випадки відношень і різні способи задання їх. Починати слід з найпростіших випадків відношень, поступово ускладнюючи їх. Доцільно використати заздалегідь заготовлені овали діаграм Вена, таблиці, кодоскоп, кольорову крейду. Приклади відношень між елементами двох множин бажано навести як з математики, так і з оточуючого середовища, задавши їх як за допомогою діаграм, так і за допомогою формули, таблиці, графіка або парами.

Розглядаючи приклади різних відношень між елементами множин, треба звернути увагу на те, що в математиці особливий інтерес становлять ті відношення, в яких кожному елементу однієї множини відповідає не більше одного елемента другої. Такі відношення називають функціями. Учні повинні вміти знаходити серед розглянутих відношень ті, які є функціями, і обґрунтовувати, чому інші відношення не належать до функцій.

Після цього вводиться означення функції. Важливо спеціально зосередити увагу учнів на важливість в означенні умов «кожному елементу» і «відповідає не більше одного елемента». При цьому можна спиратися і на зорові уявлення учнів, підкресливши, що ці умови означають, що в схематичному зображенні функції від кожного елемента множини X або виходить тільки одна стрілка, або її немає.

Треба також звернути увагу на те, що у відношеннях, які є функціями, множина Y може містити елементи, які не відповідають жодному елементу множини X. Наочно це означає, що до таких елементів не йде жодна стрілка. Разом з тим, у множині Y можуть бути елементи, які відповідають кільком (і навіть безлічі) елементам множини X (до них іде більше однієї стрілки).

Коли вводиться поняття області значень функції, необхідно на конкретних прикладах показати, що область значень функції може або збігатися з множиною Y, або бути підмножиною її.

У зв'язку із введенням поняття і терміну «відображення множини на множину» необхідно звернути увагу учнів на те, що будь-яке відображення множини X на множину Y є функцією. Проте не будь-яке відношення між елементами множин X і Y, що є функцією, можна назвати відображенням множини X на множину Y. Якщо область визначення функції збігається з множиною X, а область значень її збігається з множиною Y, то дана функція є відображенням множини X на множину Y.

У тому випадку, коли відношення між елементами множин М і N є функцією, але її область визначення X чи область значень Y (чи те і інше) не збігаються відповідно з множинами М і N, а є деякими їх підмножинами, то тут можна говорити тільки про відображення множини X на множину Y (області визначення на область значень). Ці міркування необхідно проілюструвати на прикладах.

З функціональною символікою учні ознайомлюються поступово, з розширенням відомостей про функцію.

Вчителю слід мати на увазі, що в традиційній навчально-методичній літературі і, зокрема, в багатьох посібниках з курсу математичного аналізу для позначення функції часто використовують символ f(x). У сучасній літературі і в шкільних підручниках символом f(x) позначають значення функції в точці х.

Розглядаючи способи задання функцій, необхідно наголосити на тому, що табличним способом можна задати тільки функцію, область визначення якої скінченна множина. Вчителю треба мати на увазі, що таблиці В. М. Брадіса, які раніше часто наводили як приклад табличного задання окремих функцій, наприклад у = х², не є табличним способом задання функції на всій області визначення, а тільки на тій множині значень аргументу, які є в таблиці (на скінченній множині).

Графічний спосіб задання функції в шкільному підручнику алгебри наближено до його трактування в сучасній математиці, де графік – це будь-яка множина пар. Функціональний графік – це множина, в якій немає двох пар з однаковими першими компонентами. Учні середньої школи ознайомлюються з поняттям про графік вже в 5 класі і розглядають його як множину точок площини, ' координати якої задовольняють певним умовам. У 6 класі поняття графіка хоч і не означається, але в учнів системою вправ сформовується уявлення про графік функції як про множину точок площини, в якій немає двох точок з однаковими першими координатами. У зв'язку з цим не будь-який графік задає функцію.

Раніше при вивченні шкільного курсу алгебри в учнів створювалось уявлення про графік функції як про певну лінію на координатній площині. У сучасному шкільному курсі алгебри учні дістають уявлення про графік функції як про деяку множину точок. Ця множина може бути як скінченною, так і нескінченною і може також містити тільки одну точку.

У 9 класі можна сформулювати таке означення графіка функції: графіком функції f з областю визначення X називається множина тих і тільки тих точок М (х, у) площини, координати яких задовольняють умову:

а) , б) у =f(x).

Тут, як і раніше, знак рівності в загальному випадку означає, що значенню змінної відповідає значення змінної , де Y – область значень функції. У 6 класі графік функції можна не означати. У підручнику з алгебри для 6 класу термін «аналітичний спосіб задання функції» не використовується, замість нього вживається термін «задання функції за допомогою формули». Що таке формула спеціально не пояснюється, але під формулою розуміють рівність у = f(х), де f(x) – вираз із змінною х, що задає функцію.

Слід мати на увазі, що в деяких посібниках вживається термін «задання функції за допомогою рівняння». Використовувати цей термін не бажано, оскільки не кожне рівняння з двома змінними задає функцію. Наприклад, у= х². Вивчаючи спосіб задання функції за допомогою формули, слід зазначити, що взагалі функція вважається заданою, коли задано її область визначення і відношення, за яким для кожного елемента множини X можна знайти не більше одного елемента, що належить множині Y. Коли відношення задано формулою, то область визначення функції може спеціально задаватися в умові.

При повторенні способів задання функції слід розглянути перевагу і недоліки кожного, з них. Зокрема, табличний спосіб зручний тим, що дає змогу швидко знаходити відповідні значення функції, а також дає уявлення про характер зміни значень функції при зміні значень х. Проте цим способом не можна задати функції, область визначення яких нескінченна множина. Графічний спосіб дає наочне уявлення про характер зміни значень функції залежно від зміни значень змінної х, але за графіком можна знайти здебільшого тільки наближені значення функції. Крім того, практично не можна побудувати графіки багатьох функцій на всій області визначення, а тому, як правило, обмежуються побудовою графіка на певній підмножині області визначення.

За допомогою формули зручно записувати функції символічно, проте формула не дає наочного уявлення про властивості функції (у подальшому учні навчаться діставати з формули деяку інформацію про властивості функції). Крім того, не завжди функцію можна задати формулою.

У шкільному курсі алгебри здійснюється єдиний методичний підхід до вивчення окремих видів функцій: спочатку розглядають приклади, які приводять до формули, що задає функцію розглядуваного виду, потім складають таблицю відповідних значень змінних х і у і за точками будують графік функції, а за графіком встановлюють основні властивості її. Починаючи з 8 класу, встановлені за графіком властивості функцій доводяться аналітично.

У курсі геометрії для 9 класу вивчають тригонометричні функції кутових величин, виражених у градусній мірі, а в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу – тригонометричні функції числового аргументу. В 10 класі повторюють всі види функцій із шкільного курсу математики.

Важливо, щоб учні, розглядаючи кожну нову функцію, бачили: відношення між елементами яких множин задає дана функція, відображення якої множини на яку задає дана функція, тобто треба, щоб загальне означення функції вони могли застосовувати до окремих видів функцій.

Це викликає певні труднощі у випадку тригонометричних функцій, оскільки, наприклад, для тригонометричних функцій кута мають справу з композицією двох відображень. X – множина кутів повороту відображається на множину b точок одиничного кола (відображення f₁), множина b точок одиничного кола відображається на множину У ординат цих точок (відображення f₂). Функція у=sin x=f₂ О f₁ відображає множину X кутів повороту на множину Y, тобто на числову множину [-1; 1].

Аналогічні міркування слід провести і для тригонометричних функцій числового аргументу.

При формуванні поняття функції і вивченні окремих видів функцій глибокому засвоєнню програмного матеріалу сприяють наочні посібники і технічні засоби навчання.

Методичні задачі

1. Проаналізувати підручники з математики для 1-4 класів та перші теми підручника для 7 класу і з'ясувати, при вивченні якого матеріалу учні готуються до введення поняття і означення функції.

2. Підготувати до уроку, на якому вводиться означення функції, різноманітні приклади відношень між елементами двох множин, передбачивши різні способи задання їх. Скласти систему використання обладнання до цього уроку.

3. Зробити вибірку з підручників алгебри та геометрії для 7-11 класів всіх випадків використання функціональної символіки. Скласти таблицю функціональної символіки шкільного курсу, включивши в неї і спеціальні символи, що позначають окремі функції.

4. Проаналізувати зміст самостійних і контрольних робіт з теми «Функція» в 8 класі. Скласти по два варіанти самостійної та контрольної роботи до цієї теми. Підібрати завдання до математичного диктанту на повторення теми «Функції» в 8 класі.

5. Скласти список кінофільмів, кінофрагментів, діафільмів, діапозитивів та наочних посібників, які можна використати при формуванні поняття функції та вивченні окремих видів функцій 7-9 класах.

6. Підібрати вправи на засвоєння учнями поняття функції і способів задання функції в 7 класі. Навести цікаві приклади функції, які задано: а) тільки за допомогою графіка; б) тільки за допомогою таблиці.

7. Проаналізувати за програмою та навчальною літературою, як розширюються відомості про функцію з вивченням шкільного курсу математики.

8. Скласти план-конспект уроку, на якому вводиться поняття оберненої функції.

9. Як можна пов'язати введення поняття оберненої функції в алгебрі з матеріалом, вивченим в геометрії?

10. Чи потрібні алгоритмічні вказівки при розв'язуванні вправ на знаходження формули функції, оберненої до даної? Якими можуть бути ці вказівки?

11. Навести приклади функцій, обернених самим собі.

12. Проаналізувати за навчальною літературою, як розширюються відомості про обернені функції в курсі алгебри і початків аналізу.

13. Скласти план уроку, на якому вводиться поняття складної функції. Вправи якого характеру доцільно розв'язати в зв'язку з введенням поняття складної функції?

14. Навести схему вивчення окремих видів функцій у шкільному курсі математики (показникової, логарифмічної).

15. Підібрати задачі практичного змісту, які приводять до поняття функції у = kх, у = ; у = kх + b.

16. Проаналізувати систему вправ на формування поняття функції.

17. Охарактеризувати зміст навчального матеріалу, що стосується вивчення степеневої функції в шкільному курсі.

Заняття №3

ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІ І РОЗРИВНІ ФУНКЦІЇ

МЕТА: Ознайомити студентів із змістом та методикою вивчення в середній школі границі функції та неперервних і розривних функцій.

ПЛАН

1. Послідовність вивчення понять границі функції і неперервних та розривних функцій.

1. Методика вивчення границі функції.

2. Методика вивчення теми «Неперервні і розривні функції».

2. Система вправ з теми «Границя функції», «Неперервні і роз­ривні функції».

3. Використання наочних посібників та технічних засобів при вивченні границі функції та неперервних функцій.

ЛІТЕРАТУРА

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – 3-те вид., перероб. і доп. – К.: Вища шк., 1989. – 367 с.

2. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Функция, ее предел и производная. – М.: Просвещение, 1969.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1970.

4. Колмогоров А.Н. Функции, графики, непрерывные функции. – Математика в школе, 1965, № 6.

5. Марнянский И.А. Элементы математического анализа в школьном курсе математики. – М.: Просвещение, 1964.

6. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с.

7. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 5—11-і класи│В. Г. Бевз, А.Г. Мерзляк, 3.1. Слєпкань

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

─К.:2003р. Навчальна книга С. 4 – 52.

8. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих

шкіл, гімназій, ліцеїв економічного профілю. Математика. 10—11-і

класи │ М.А. Ваинтрауб, О.С. Стрельченко, І.Г. Стрельченко

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

─К.:2003р. Навчальна книга С. 53 – 69.

9.Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв природничного профілю. Математика. 10— 11-і класи │Я. С. Бродсъкий, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко, О.М. Афанасьева││Математика.Програма для

загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р.Навчальна книга С. 70 – 102.

10.Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 8—11-і класи

│ МІ. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 103 – 130.

11. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв фізико-математичного профілю. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко ││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 131 – 148.

12. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв суспільно-гуманітарного, філологічного, художньо-естетичного та спортивного профілів. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, Ю.І. Мальований││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р.

Програми факультативів, спецкурсів, гуртків

13. Факультативний курс загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 7—9-і класи │ М.І. Бурда, В.Г. Бевз,

Н.С. Прокопенко││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 149 – 159.

14.Слепкань 3.І. Методика викладання алгебри і початків аналізу. – К.: Радянська школа, 1978 - 224.

15.СлєпканьЗ.І. Методика навчання математики: Підруч.для студ. мат. Спеціальностей пед. навч. Закладів.-К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512с.

16.Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 10 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 272 с.

17. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 11 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

МЕТОДИЧНІ ЗАУВАЖЕННЯ

У традиційному курсі математичного аналізу означення границі функції передує введенню різних означень неперервних функцій у точці. Останнім часом з'явились спроби реалізувати іншу послі­довність викладу цих важливих понять математичного аналізу. Проте в навчальному посібнику з курсу алгебри і початків аналізу фактично витримано традиційну послідовність вивчення понять границі і неперервності, хоч і є деяка спроба ввести поняття непе­рервності першим, але в сформульованому означенні функції, неперервної в точці, використовується поняття границі.

Поняття границі функції належить до найважчих понять для сприймання. Тому тільки конкретно-індуктивний метод навчання від прикладів і геометричних ілюстрацій, які сприяють формуванню інтуїтивного уявлення про границю, до формального означення допоможе дев'ятикласникам засвоїти поняття границі функції.

У курсах математичного аналізу і в методичній літературі для середньої школи поширено два підходи до тлумачення поняття границі функції:

1. означення за Коші, тобто означення в термінах ε, δ;

2. означення за Гейне, тобто через границю числової послідовності.

У шкільному посібнику прийнято означення за Коші. Перш ніж розглядати це означення, треба нагадати означення границі числової послідовності і звернути увагу учнів на те, що хоча числова послідовність і є окремим випадком функції, проте ця функція визначена на множині тільки натуральних чисел і набуває значення окремих чисел, тобто змінюється дискретно. При цьому ставиться завдання розглянути поняття границі функції, область визначення якої довільна числова множина.

Пояснення доцільно почати з прикладів.

Приклади

1. Прослідкуємо, як «поводять себе» значення функції , коли значення аргументу х як завгодно близько наближаються до числа 2, що символічно позначається х → 2.

Коли х → 2, залишаючись зліва від точки 2, то відповідні значення f (х) функції, збільшуючись, як завгодно близько наближаються до числа 4 (рис. 32), а коли х → 2 залишаючись справа від точки 2, то відповідні значення f (х), зменшуючись, теж як завгодно близько наближаються до числа 4. Взагалі, яким би чином значення х як завгодно близько не наближались до числа 2, відповідні значення f (х) функції будуть як завгодно близько наближатися до числа 4.

У цьому випадку кажуть, що функція має границю - число 4 - при х → 2 і записують .

2.Прослідкуємо, як «поводять себе» значення функції при х3.

На відміну від попереднього прикладу в точці х = 3 дана функція не визначена. Проте неважко помітити безпосередньо з графіка (рис. 33), що при х→ 3 значення функції як завгодно близько наближаються до числа 6. У цьому випадку також вважають, що число 6 є границею функції при х3, і записують .

Рис. 2

Рис. 3

Рис.1

Отже, розглянуті приклади показують, що коли число b є границею функції у = f (х), то значення f (х) функції як завгодно близько наближаються до числа b при х → а.

Аналогічно випадку границі числової послідовності з'ясуємо, як характеризується розглянута властивість числа на мові математики. У першому прикладі задамо як завгодно мале додатне число ε і побудуємо ε-окіл точки 4 (рис. 3). Усі значення функції , які містяться в ε - околі точки 4, тобто всередині відрізка МN, задовольняють нерівність

4 - ε < f (х) < 4 + ε,

або рівносильну їй нерівність

| f (х – 4) | < ε (1)

Проте «поведінка» значень функції залежить від того, які значення набуває аргумент х. З'ясуємо, для яких х виконується нерівність (1). Визначимо це, насамперед, графічно. Проведемо через точки М і N перпендикуляри до осі ординат. Точки С і D перетину перпендикулярів з графіком функції спроектуємо на вісь абсцис. Відрізок РQ містить, крім точки х = 2, всі значення аргументу х, відмінні від х = 2, для яких виконується нерівність (1).

Очевидно, |PF| > |FQ|. Довжину меншого відрізка FQ позна­чимо через δ і побудуємо δ - окіл точки 2. Усі точки осі абсцис, які містяться в δ-околі точки 2, задовольняють нерівності

2 – δ <х<2 + δ,

або рівносильній їй нерівності

|х – 2|< δ. (2)

Отже, для тих значень змінної х, які задовольняють нерівності | х – 2| < δ, виконується нерівність

| f (х)-4| < ε.

Геометрично це означає, що як тільки значення аргументу х, що прямують до числа 2, попадають у δ-окіл точки 2, відповідні значення f (х) функції попадають у ε-окіл точки 4.

Треба пояснити, використовуючи графік, чому за радіус δ-околу точки 2 було взято довжину меншого відрізка FQ. Справді, коли б за δ взяти довжину більшого відрізка РF, то в такому δ-околі точки 2 знайшлися б такі значення х, для яких відповідні значення f (х) функції не попалиб у ε-окіл точки 4.

Числовий проміжок РQ і значення δ для будь-якого наперед заданого ε > 0 можна знайти і аналітично, розв'язуючи відповідні нерівності.

Задамо наперед довільне число ε > 0 у другому прикладі і по­ставимо за мету знайти відповідне δ > 0 таке, щоб для всіх х ≠ 3 і таких, що |х – 3| < δ, виконувалася б нерівність | f (х) – b| < ε.

Припустимо, що остання нерівність виконується, тобто вико­нується нерівність

(3)

Розв'яжемо цю нерівність відносно |х – 3|. Справді, при х =3 нерівність (3) рівносильна такій:

|(х + 3) – 6| < δ, або |х – 3|< ε.

Отже, в даному прикладі за δ можна взяти δ = ε (рис. 4). Тоді для всіх, х≠3 і таких, що | х – 3 | < δ , виконується нерівність .

Після цього вже можна сформулювати означення границі функції за Коші.

Означення. Число b називається границею функції у = f (х) при х→ а (або в точці а), якщо для будь-якого наперед заданого додатнього числа ε можна знайти таке додатнє число δ, що для всіх х ≠ a і таких, що |х – а| < δ, виконується нерівність | f (х) - b |< ε .

Символічно це записується так: .

Треба звернути увагу, що в означенні границі функції умова х ≠ а накладається для того, щоб охопити цим означенням ті випадки, коли в точці х = а функція не визначена, але при х → а має границю – число b.

Доцільно ще раз подати геометричну інтерпретацію границі функції (рис. 5).

Рис.4. Рис.5

Формування поняття границі функції не завершується введенням означення. Важливу роль у цьому відіграють також приклади на доведення за допомогою означення рівності при заданих значеннях а і b.

Досвід показує, що розв'язування таких вправ викликає значні труднощі. Тому захоплюватися ними не слід. Для самостійного розв'язування доцільно пропонувати в основному лінійні функції або такі, в яких знаходження δ за заданим ε не приводить до розв'язування складних нерівностей. Важливо також, щоб у класі вчитель чітко показав учням хід міркувань у таких доведеннях.

Приклад

Довести, користуючись означенням границі функції, що .

Доведення. Покажемо, що для будь-якого наперед заданого числа ε >0 можна вказати таке число δ > 0, що для всіх х ≠ 2 і таких, що | х – 2|< δ, виконується нерівність

|(15х + 1) - 31| < ε (1)

Розв'яжемо останню нерівність відносно | х - 2|. Виконавши перетвоення в лівій частині, дістанемо

|15х - 30 | < ε , |15(х - 2)| < ε;

15|х - 2 | < ε;

Отже, для всіх х ≠ 2 і таких, що задовольняють нерівність (2), вико­нується нерівність (1). Тому за δ можна взяти число , тобто .

Більш складні приклади, які доцільно пропонувати при індивідуальній роботі з сильними учнями, є вправи на доведення існування границі для квадратичної, дробово-раціональних та інших видів функцій.

Приклад

Довести, користуючись означенням границі функції, рівність .

Доведення. Покажемо, що для будь-якого наперед заданого числа ε > 0 можна знайти таке число δ > 0, що для всіх х ≠ 2 і таких, що |х - 2|< δ, виконується нерівність

(1)

Розв'яжемо нерівність (1) відносно | х – 2 |. Зробити це за допомогою тільки тотожніх перетворень у лівій частині нерівності не можливо. Тому дану нерівність підсилюють, щоб дістати простішу нерівність, яку можна легко розв'язати відносно | х – 2|. Запишемо спочатку нерівність (1) у вигляді

, звідки (2).

Позбудемося в нерівності (2) множника | х + 2 |, замінивши його числом, якого він не перевищує. З цією метою накладемо на шукане число δ обмеження, а саме, нехай δ ≤ 1. Тоді | х – 2 | < 1, або – 1 < х – 2 < 1, звідки 3 < х + 2 < 5. Отже, | х + 2 | < 5.

Замінивши в нерівності (2) множник | х + 2 | числом 5, вимагатимемо, щоб виконувалася нова нерівність

(3)

Якщо х задовольняє нерівність (3), то воно задовольнятиме нерівність (2), а тому й нерівність (1). Тут треба пояснити учням цей факт на прикладі звичайних числових нерівностей: коли 5 < 8, то й 2 <8.

З нерівності (3) дістанемо

.

Отже, за δ можна взяти найменше з двох чисел 1 і .

При цьому, якщо | х – 2|< δ , х ≠ 2, то

.

Неперервність функції в точці – одна з найважливіших влас­тивостей, інтуїтивне уявлення про яку учні фактично вже дістали, будуючи графіки різноманітних функцій. Поняття неперервності застосовується не тільки при дослідженні властивостей функцій з метою побудови їх графіків. Для неперервних функцій, напри­клад, обчислення границі в точці а спрощується за допомогою рівності .

Властивість неперервності використовується при доведенні теорем про похідні та в різних інших питаннях математичного аналізу.

З курсу математичного аналізу відомо кілька означень неперервності функцій в точці, сформульованих у різних термінах.

Досвід показує, що в шкільному курсі математики найбільш доступним є означення на основі рівності . У практичних застосуваннях неперервності найчастіше використовується означення за допомогою рівності (наприклад, при доведенні теорем про похідну добутку, частки двох функцій).

Якщо врахувати, що на час введення поняття неперервності учні будуть знайомі з поняттями приросту аргументу і приросту функції і що друге означення легко дістати з першого, то перевагу в школі треба віддати саме цим двом означенням.

При введенні поняття функції, неперервної в точці, на першому етапі треба спиратися на інтуїтивне уявлення учнів про неперервність графіка функції, хоч з курсу математичного аналізу відомо, що означення неперервних в точці функцій не пов'язується з графіком, бо, по-перше, не завжди за графіком можна виявити непе­рервність, і, по-друге, існують функції, графіки яких побудувати неможливо.

Доцільно звернути увагу учнів на те, що при побудові графіків різних функцій вони завжди знаходили кілька точок на графіку і сполучали ці точки суцільною лінією. Проте чи завжди графік функції є суцільна лінія (чи завжди можна накреслити графік функції, не відриваючи олівця від паперу)? Виявляється, що ні.

Слід навести учням приклади графіків відомих вже функцій. Зокрема, графік функції у = х² є суцільна лінія, а графік функції не є суцільною лінією, бо він складається з двох окремих віток. Вважають, що функція у = х² неперервна при будь-яких значеннях х, а функція має розрив в точці х=0. Разом з тим, про цю функцію можна сказати, що вона неперервна в будь-якій точці з області визначення, тому кожну з віток гіперболи можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу.

Доцільно навести ряд інших прикладів розривних функцій, заздалегідь заготувавши таблицю (рис.6). Аналізуючи кожний графік, можна використати будь-яке означення границі функції. Зокрема, спираючись на означення за Гейне, помічаємо, що в пер­шому прикладі, яке б значення аргументу х₀ не було взято, для будь-якої послідовності значень змінної х, що має границю х₀, відповідна послідовність значень функції матиме границю, яка дорівнює f (х₀).

У другому прикладі функція розривна в точці перш за все тому, що в цій точці вона не визначена.

Функція f (х) = [х] визначена на всій множині дійсних чисел і разом з тим має безліч розривів при кожному цілому значенні аргументу х. Причина розриву, наприклад, в точці х₀ = 1 в тому, що для двох різних послідовностей значень аргументу, що мають границю число 1, відповідні послідовності значень функції мають різні границі. Справді, якщо взяти будь-яку збіжну послідовність значень х < 1, що має границю 1, то відповідна послідовність значень функцій матиме вигляд

0, 0, 0, 0, …,0, …,

тобто має границю 0. Якщо взяти послідовність значень змінної х > 1, що збігається до 1, то відповідна послідовність значень функції буде 1, 1, 1, 1,…, 1, ...,

тобто має границю 1. За Гейне, в точці х₀ = 1 функція f(х) = [х] не має границі. Це і стало причиною розриву функції в даній точці.

Рис.6.

У четвертому прикладі функція розривна в точці х₀ = 1, оскільки вона не визначена в ній. Причина розриву функції в точці х₀ = 0 в п'ятому прикладі та сама, що й у третьому.

У шостому прикладі функція визначена при будь-якому дійсному значенні аргументу. При х₀ = 0 вона розривна, оскільки незважаючи на те, що в цій точці існує границя, яка дорівнює 1, вона не дорівнює значенню функції.

Треба звернути увагу учнів на те, що не завжди за графіком можна виявити неперервність функції в тій чи іншій точці.

Приклад

Побудувати графік функції .

Рис. 7.

Прямі лінії у = х і у = х + 0,001 будуть фактично збігатися, залишаючись паралельними. Для наочності на графіку слід показати їх двома прямими (рис.7).

У зв'язку з цим виникає необхідність ввести означення функції, неперервної в точці, не пов'язуючи властивість не­перервності функції з її графіком. На основі розглянутих вже прикладів учні можуть назвати умови, які повинні містити означення функції, неперервної в точці, а саме:

1) треба, щоб функція була визначена в точці х₀, тобто повинно існувати f (х₀);

2) повинна існувати і границя функції f при х→х₀;

3) ця границя повинна дорівнювати значенню функції в точці х₀, тобто виконуватиметься умова .

Означення. Функція f називається неперервною в точці х₀ в області визначення функції, якщо границя функції при х→х₀ існує і дорівнює значенню функції цій точці, тобто якщо виконується умова

Застосовуючи це означення, неважко показати, що функція неперервна в точці х₀ = 2, оскільки і .

Аналогічно можна довести, що ця функція неперервна в будь-якій точці .

Рекомендуємо запропонувати учням такі усні вправи:

1) навести приклади функцій, які мають розрив у певних точках з тієї причини, що вони не визначені в них .

2) навести приклади функцій, які визначені на всій множині дійсних чисел, але розривні в певних точках (f(х)={х}, різні кусково задані функції.

Треба звернути увагу також на те, що в математичному аналізі найчастіше застосовують інше означення неперервної функції в точці, яке випливає з першого.

Справді, рівність можна записати у вигляді , або . (2)

Різниця f (x) - f (x₀) є не що інше як приріст функції, який відповідає приросту аргументу, х – х₀ =∆ х причому коли х → х₀, то ∆х→ 0. Позначивши f (x) - f (x₀) = ∆ у, рівність (2) можна записати у вигляді

або .

Звідси друге означення неперервної функції в точці х₀: функція f називається неперервною в точці х₀ в області визначення функції, якщо границя приросту функції в цій точці дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Важливо підкреслити, що сформульоване означення неперервної функції стосується властивості функції в певній точці. Функція може бути розривною в даній точці і неперервною в інших. Наприклад, функція розривна в точці х = 1 і неперервна в будь-якій іншій точці в області визначення.

Функція f (х) = {х} розривна при цілих значеннях х і неперервна в будь-якій точці, відмінній від них.

Коли функція неперервна в будь-якій точці певної множини, то кажуть, що вона неперервна на цій множині. Наприклад, функції неперервні на області визначення.

Щоб показати учням застосування другого означення непе­рервності функції в точці, треба довести, що функція у = х² непе­рервна в будь-якій точці області визначення, цим буде логічно обґрунтована побудова графіка параболи у вигляді суцільної лінії. Як домашнє завдання учні самостійно доведуть неперервність ліній­ної функції у = ах + b.

Виконуючи доведення, доцільно виділити в ньому три етапи, два з яких використовуватимуться при доведенні формул похідних.

Приклад

Довести, що функція у = х² неперервна при будь-якому .

Доведення. Нехай х₀ - будь-яке значення аргументу х і f (х₀) - відповідне значення функції.

1) Надамо х₀ приросту ∆х і запишемо значення функції, яке відповідає аргументу х₀ + ∆х. Очевидно,

f (х₀ +∆х) = (х₀ +∆х)².

2) Визначимо приріст функції ∆ f (х₀):

∆ f (х₀) = f (х₀ +∆х) - f (х₀) = (х₀ +∆х)² – х₀²=

= х₀² + 2 х₀ ∆х + (∆х)² - х₀² = (2 х₀ + ∆х) ∆х.

3) Знайдемо .

Отже, згідно з другим означенням неперервної функції в точці, функція у = х² неперервна в точці х₀. Оскільки за х₀ взято будь-яку точку числової прямої, то тим самим доведено, що дана функція неперервна на множині R.

Бажано показати учням хоча б один приклад дослідження на неперервність розривної функції.

Приклад

Дослідити на неперервність функцію f (х) = [х] в точці х₀ = 2.

Розв'язання. 1) Надамо х₀ = 2 приросту | ∆х |<1 і запишемо значення функції f (х₀ + ∆х). Очевидно, при 0 < ∆х < 1 f (х₀ + ∆х) = 2, а при – 1<∆х < 0 f (х₀ + ∆х) = 1.

2) При 0 < ∆х < 1

∆ f (х₀) = f (х₀ +∆х) - f (х₀) =2 – 2 =0,

а при – 1 < ∆х <0

∆ f (х₀) = 1- 2 = -1.

3)

Отже, при довільному ∆ х → 0 приріст функції ∆ f (x) не прямує до нуля, тому функція f (x) = [х] розривна в точці х₀ = 2.

Запитання і завдання для повторення

1. В якому класі вводять поняття «границя функції» і «неперервність функції»? В якій послідовності розглядають ці поняття?

2. Чим відрізняються поняття «границя числової послідовності» і «гра­ниця функції»?

3. Чи є зміст говорити про границю нечислової функції? Чому?

4. Сформулювати означення границі функції в точці, які вивчалися в курсі математичного аналізу. Як вводиться означення границі функції в навчальному посібнику з алгебри і початків аналізу в 11 класі?

Методичні задачі

1. Розв'язати вправи № 309-313, № 412-413 з навчального посібника з алгебри і початків аналізу для 11 класу.

Розробити методику розв'язування вправи № 411.

2. При обчисленні границь раціональних функцій доводиться скорочувати дроби на деякий вираз. Як учень повинен обґрунтувати можливість такого тотожного перетворення?

3. Скласти план-конспект уроку, на якому вводиться поняття границі функції.

4. Записати всі відомі з курсу математичного аналізу означення функції, неперервної в точці. Яке означення доцільно вводити в шкільному курсі? (При цьому слід враховувати, щоб:

1) означення було доступне учням;

2) введене означення можна було використати при вивченні шкільного курсу алгебри і початків аналізу.

5. Проаналізувати навчальний матеріал курсу алгебри і початків аналізу і з'ясувати, де можна використати означення неперервної в точці функції.

6. Розв'язати вправи № 314, 316, 317, 325, 335, 336, 342, 412 з навчального посібника з алгебри і початків аналізу для 11 класу. На які моменти в ході розв'язування цих вправ треба звернути увагу учнів? Зробити детальне пояснення до розв'язування вправ № 316, 335, 412.

7. Які наочні посібники можна використати при вивченні тем «Границя функції», «Неперервні функції»?

8. Проаналізувати систему вправ навчального посібника до теми «Границя функції», «Неперервні функції». Чи є потреба у доповненні цієї системи вправами? Якими вправами можна її доповнити?

Заняття №4

ПОЧАТКИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В КУРСІ АЛГЕБРИ І ПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ

МЕТА: Ознайомити студентів з вузловими питаннями методики вивчення похідної та її застосувань у шкільному курсі.

ПЛАН

1. Мета і місце вивчення початків диференціального числення в шкільному курсі математики.

2. Можливі методичні варіанти введення поняття похідної,

3. Різні застосування похідної, з якими доцільно ознайомити учнів на уроках і в позакласній роботі.

4. Як пояснити учням матеріал, що стосується застосування похідної до дослідження функцій на монотонність і екстремум?

5. Наочні посібники і технічні засоби навчання з тем «Похідна», «Застосування похідної».

ЛІТЕРАТУРА

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – 3-те вид., перероб. і доп. – К.: Вища шк., 1989. – 367 с.

2. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Функция, ее предел и производная. – М.: Просвещение, 1969.

3. Дубинчук О.С, Слєпкань З.І. Алгебра і елементарні функції. Начальний посібник для вечірньої (змінної) і заочної шкіл. – К.: Радянська школа, 1968.

4. Маркушевич А. И., Сикорский К. П., Черкасов Р. С. Алгебра и элементарные функции. – М.: Просвещение, 1968.

5. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз,1959.– 207 с.

6. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 5—11-і класи│В. Г. Бевз, А.Г. Мерзляк, 3.1. Слєпкань

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

─К.:2003р. Навчальна книга С. 4 – 52.

7. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих

шкіл, гімназій, ліцеїв економічного профілю. Математика. 10—11-і

класи │ М.А. Ваинтрауб, О.С. Стрельченко, І.Г. Стрельченко

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 53 – 69.

8. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв природничного профілю. Математика. 10— 11-і класи │Я. С. Бродсъкий, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко, О.М. Афанасьева││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 70 – 102.

9. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 8—11-і класи

│ МІ. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 103 – 130.

10. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв фізико-математичного профілю. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко ││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 131 – 148.

11. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв суспільно-гуманітарного, філологічного, художньо-естетичного та спортивного профілів. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, Ю.І. Мальований││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р.

Програми факультативів, спецкурсів, гуртків

12. Факультативний курс загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 7—9-і класи │ М.І. Бурда, В.Г. Бевз,

Н.С. Прокопенко││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 149 – 159.

13. Слєпкань З.І. Методика викладання алгебри і початків аналізу. – К.: Радянська школа, 1978.

14. СлєпканьЗ.І. Методика навчання математики: Підруч.для студ. мат. Спеціальностей пед. навч. Закладів.-К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512с.

15. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 10 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 272 с.

16. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 11 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

МЕТОДИЧНІ ЗАУВАЖЕННЯ

Введення початків диференціального числення до програми шкільного курсу математики передбачає загальноосвітню і виховну мету. Основна загальноосвітня мета – ознайомити учнів з ідеями і методами диференціального числення і показати, як вони застосовуються для дослідження функцій в геометрії, фізиці, обчислювальній практиці при розв'язуванні задач практичного змісту.

Початки диференціального числення в шкільному курсі алгебри і початків аналізу вивчаються в 11 класах. У 10 класі передбачено повторити і розширити відомості про числову функцію; ввести поняття границі функції, неперервності, похідної; довести основні теореми про похідну суми, добутку, частки; ознайомити з похідними степеневої функції з цілим показником, функції і многочлена, дробово-раціональної, складеної функції; розглянути різні застосування похідної.

У 11 класі вивчають похідні тригонометричних функцій, показникової, оберненої, логарифмічної функцій, а також і похідну степеневої функції з будь-яким показником.

Існують різні методичні підходи щодо введення поняття похідної в шкільному курсі. У більшості посібниках перш ніж ввести означення похідної розглядають задачу про миттєву швидкість. У інших посібниках рекомендується почати з означення дотичної. Перевага першого підходу в тому, що учні з курсу фізики вже знають задачу про миттєву швидкість. У курсі алгебри і початків аналізу залишається тільки оформити розв'язання цієї задачі в термінах і символах математичного аналізу (прирости аргументу і функції, границя функції). При цьому слід чітко виділити чотири кроки, які фактично розкривають зміст похідної і які використовуватимуться під час виведення формул похідних окремих функцій і доведення основних теорем про похідні суми, частки і добутку.

Традиційно склалося так, що головним аспектом застосування похідної в курсах математичного аналізу було і залишається застосування похідної до дослідження функцій. Цей аспект був головним і в курсі алгебри і елементарних функцій, тому відповідний розділ програми і підручника мав назву «Похідна і її застосування до дослідження функції», хоч в стабільному підручнику йшлося також і про інші застосування похідної.

У програмі курсу «Алгебра і початки аналізу», крім застосуван­ня похідної до дослідження функцій, спеціально виділяється застосування її в геометрії, фізиці і наближених обчисленнях. У позакласній роботі є змога показати .учням застосування похідної для визначення коефіцієнтів многочлена і виводу формули бінома Ньютона, для графічного розв'язування рівнянь, доведення тотожностей.

Що стосується методики пояснення учням теоретичного і практичного матеріалу про застосування похідної для дослідження функцій на монотонність, то, враховуючи шкільну програму, доцільно при введені ознак монотонності обмежитися геометричною ілюстрацією смислу ознак і звернути увагу на розв'язування вправ, де використовується введена без доведення достатня ознака. Геометричну ілюстрацію ознак монотонності треба провести на прикладах побудови графіків знайомих учням функцій у = х², у = х³. Перше завдання, яке стоїть перед вчителем у зв'язку з дослідженням функцій на екстремум, – дати означення максимуму і мінімуму функцій. У навчальній і методичній літературі поширено два види означень цих понять. Треба щоб учні усвідомили, що максимум і мінімум функції в точці характеризують поведінку функції тільки в як завгодно малому околі цієї точки. Максимум і мінімум є не обов'язково найбільшим або. найменшим значенням функції на всій області визначення або на певній підмножині її. Поведінка функції на множині характеризується термінами «найбільше і найменше значення функції». При розв'язуванні вправ на обчислення екстремумів доцільно виділити чотири кроки: 1) знаходження похідної, 2) знаходження критичних точок, 3) дослідження знака похідної зліва і справа від критичної точки починаючи з першої, найменшої за значенням; 4) обчислення максимумів і мінімумів.

Щоб учні зрозуміли важливість диференціального числення для математики, природничих наук і практики, доцільно, крім яскравих прикладів на застосування похідної, розповісти і про той факт, що К.Маркс в 40-річному віці взявся за вивчення вищої математики і не залишав цього заняття до кінця життя.

Кращому засвоєнню учнями початків диференціального числення сприяють наочні посібники і технічні засоби навчання. Для цього можна з успіхом використати таблиці з алгебри і початків аналізу для 10 класу (див. Математика в школе, 1976, № ), кінофільм у трьох частинах «Задачи, приводящие к понятию производной», кодопозитиви тощо.

Методичні задачі

1. З'ясувати місце початків диференціального та інтегрального числення в діючій програмі шкільного курсу математики.

2. Охарактеризувати, зробивши огляд методичної літератури, можливі варіанти введення поняття похідної в школі. Який варіант прийнято в навчальному посібнику з алгебри і початків аналізу для 9 класу?

3. Досвід показує, що при доведенні теорем про похідну суми, добутку, частки двох функцій учні формально переносять правила тотожних перетворень одночленів і многочленів на перетворення, пов'язані з функціональною символікою, і допускають такі помилки:

Яка причина цих помилок? Як їх запобігти?

4. Чи потрібні учням вказівки алгоритмічного характеру при доведенні формул похідних елементарних функцій і основних теорем про похідні (суми, добутку, частки, складеної, оберненої функцій)?

5. З якими труднощами зустрічаються учні під час доведення теорем про похідну показникової, оберненої, логарифмічної функцій? Як їх можна подолати?

6. Досвід показує, що на запитання «Чи буде дотичною вісь ОХ у початку координат до графіків функцій у = х², у= |x|?» учні дають різні відповіді. Як пояснити їм правильну відповідь?

7. Які вказівки алгоритмічного характеру можна запропонувати учням під час дослідження функцій на екстремум? Навести приклади.

8. Підібрати цікаві задачі практичного змісту на знаходження найбільших (найменших) значень функцій.

9. Розробити систему вправ на дослідження функцій і побудову графіків.

10. Скласти математичний диктант на повторення матеріалу про похідну.

11. Які історичні відомості і на якому етапі вивчення теми «Похідна» можна дати учням?

Заняття №5

ВИВЧЕННЯ ІНТЕГРАЛА В КУРСІ АЛГЕБРИ І ПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ

МЕТА: Розглянути зміст і методичні особливості вивчення теми «Інтеграл» у шкільному курсі математики.

ПЛАН

1. Вимоги, поставлені програмою з шкільного курсу математики до вивчення теми «Інтеграл».

2. Можливі методичні варіанти вивчення теми «Інтеграл» у шкільному курсі.

3. Особливості викладу теми «Первісні і інтеграл» в навчальному посібнику для 10 класу.

4. Методика вивчення теми «Застосування інтеграла для обчислення площ плоских фігур».

5. Застосування інтеграла для обчислення об'ємів у шкільному курсі геометрії.

6. Які історичні відомості і на яких етапах вивчення теми «Інтеграл» можна розповісти учням?

ЛІТЕРАТУРА

1. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1976.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – 3-те вид., перероб. і доп. – К.: Вища шк., 1989. – 367 с.

3. Маркушевич А.И., Сикорский К.П., Черкасов Р.С. Алгебра и элементарные функции. – М.: Просвещение, 1968.

4. Рубинов А.М., Шапиев К.Ш. Элементы математического анализа. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1972.

5. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с.1. 9. 6. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 5—11-і класи│В. Г. Бевз, А.Г. Мерзляк, 3.1. Слєпкань

││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 4 – 52.

7. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв економічного профілю. Математика. 10—11-і класи │ М.А. Ваинтрауб, О.С. Стрельченко, І.Г. Стрельченко ││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 53 – 69.

8. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв природничного профілю. Математика. 10— 11-і класи │Я. С. Бродсъкий, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко, О.М. Афанасьева││Математика.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 70 – 102.

9. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 8—11-і класи

│ МІ. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 103 – 130.

10. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв фізико-математичного профілю. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, М.А. Жалдак, Т. Колесник, Т.М. Хмара, М. Ядренко ││ Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 131 – 148.

11. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів, спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв суспільно-гуманітарного, філологічного, художньо-естетичного та спортивного профілів. Математика. 10—11-і класи │ M.I. Бурда, Ю.І. Мальований││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р.

Програми факультативів, спецкурсів, гуртків

12. Факультативний курс загальноосвітніх навчальних закладів.

Математика. 7—9-і класи │ М.І. Бурда, В.Г. Бевз,

Н.С. Прокопенко││Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. ─К.:2003р. Навчальна книга С. 149 – 159.

13. Слепкань З.І. Методика викладання алгебри і початків аналізу. – К.: Радянська школа, 1978.

14. СлєпканьЗ.І. Методика навчання математики: Підруч.для студ. мат. Спеціальностей пед. навч. Закладів.-К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512с.

15. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 10 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 272 с.

16. Шкіль М.І. та інші. Алгебра і початки аналізу: підр. для 11 кл. загальноосвітніх навч. закладів / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

МЕТОДИЧНІ ЗАУВАЖЕННЯ

На вивчення початків інтегрального числення програмою курсу алгебри і початків аналізу відводиться всього 10 годин. Основна увага при цьому повинна бути зосереджена на введенні поняття первісної і інтеграла та застосування його до обчислення площ плоских фігур.

Вивчення початків інтегрального числення в школі починають з введення поняття первісної і операції знаходження її.

Термін «невизначений інтеграл» і відповідний символ в школі не вводять. Програмою не передбачено також ознайомлення із спеціальними прийомами знаходження первісної і визначеного інтеграла. Мається на увазі розгляд тільки таких функцій, первісні яких безпосередньо знаходяться з таблиці похідних. У шкільному курсі розглядають основні, найпростіші властивості первісної і інтеграла. Було б неправильним переносити на уроки математики всі ті відомості про інтегральне числення, які вчитель сам дістав у вузі. Треба пам'ятати, що мета вивчення початків інтегрального числення в школі – ознайомити учнів тільки з основними поняттями і ідеями і показати застосування цього методу математики на практиці (в геометрії і фізиці).

У позакласній роботі і на факультативних заняттях можна поглибити і розширити вивчення відомостей про інтегральне числення: показати різноманітні застосування в фізиці та геометрії, зокрема обґрунтувати принцип Кавальєрі, вивести формулу Сімпсона; дати учням інше трактування інтеграла і розглянути матеріал посібника, який не є обов'язковим для вивчення на уроці з усіма учнями.

Перш ніж починати вивчення первісної та інтеграла, Необхідно повторити поняття границі функції, неперервності, похідної і таблицю похідних.

Урок, на якому вводять поняття первісної, можна почати з розгляду задач, які приводять до поняття первісної, і показати учням необхідність введення в математиці операції, оберненої до операції диференціювання. Досвід вивчення початків інтегрального числення в школі показав, що доцільно спочатку на конкретному прикладі найпростішої функції ввести поняття про операцію, обернену до операції знаходження похідної, сформулювати означення первісної, скласти таблицю первісних найпростіших функцій, а на наступному уроці як повторення вивченого розглянути дві задачі (про знаходження закону руху за відомим законом зміни швидкості і знаходження рівняння кривої за відомим кутовим коефіцієнтом в кожній точці кривої). Ці задачі проілюструють застосування операції інтегрування і розкриють конкретний смисл довільної сталої інтегрування.

Вивчаючи питання застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур, важливо розглянути різні випадки розміщення фігури, площа якої знаходиться на координатній площині, а саме, коли фігура розміщена між двома лініями, рівняння яких відомі, коли криволінійна трапеція лежить нижче осі ОХ.

Послідовність викладу цього матеріалу може бути такою. Після розгляду нескладних вправ на обчислення площ криволінійних трапецій безпосередньо за формулою

(1)

(наприклад, площі трикутника, обмеженого прямими у=2х, х = k і віссю ОХ; фігури, обмеженої параболою у = х², прямою . х=k і віссю ОХ) доцільно розглянути задачу про обчислення площі фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій у=f(x) і у=(x), але спочатку при умові, коли f(х)> 0 і (x)>0 (рис. 39(1)). Учні самі встановлюють, що . Цей факт називають «принципом Кавальєрі», оскільки він (був встановлений в XVII ст. італійським математиком Бонавентура Кавальєрі (1598-1647). Принцип Кавальєрі формулюється так: якщо дві плоскі фігури містяться між двома паралельними прямими і всі відповідні перерізи їх мають однакову довжину, то ці фігури рівновеликі.

Рис.2

Треба зауважити також, що коли криволінійна трапеція розміщена під віссю Ох (рис. 40), то в результаті обчислення дістанемо від'ємне число. У цьому разі вважають, що .

Потім розв'язують різноманітні приклади на обчислення площ плоских фігур.

Доцільно також сказати учням про те, що інтеграл застосовується ще в геометрії під час обчислення площ і об'ємів поверхонь, довжин дуг плоских кривих. Обчислення об'ємів за допомогою інтеграла розглядають пізніше в курсі геометрії.

Необхідно також навести приклади застосування інтеграла в фізиці, зокрема, для обчислення шляху за відомим законом зміни прискорення, роботи змінної сили, знаходження маси неоднорідного стержня, кількості електрики, коли відомо закон зміни сили струму.

Методичні задачі

1. Скласти план-конспект першого уроку, на якому вводиться поняття первісної.

2. Чому в шкільному курсі математики не вводиться термін «Невизначений інтеграл» і відповідний символ ?

3. Розробити систему вправ на обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла.

4. Навести приклади задач на застосування інтеграла в фізиці.

5. Скласти математичний диктант з теми «Інтеграл».

6. Скласти план-конспект заняття математичного гуртка, на якому розширюються і поглиблюються відомості про інтеграл.

Заняття №6-7

ЙМОВІРНІСНО-СТАТИСТИЧНА ЗМІСТОВНА ЛІНІЯ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ.

Мета: Ознайомити студентів із змістом та методикою вивчення в старшій школі ймовірнісно-статистичної лінії.

Вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірностей, математичної статистики в шкільних курсах математики стало реальністю. З'ясовуються цілі нововведень, визначається зміст нової змістової лінії, створюється необхідне навчально-методичне забезпечення. Іншими словами, вирішуються стратегічні питання розвитку ймовірнісно-статистичного мислення учнів у межах шкільного курсу математики. За цих умов дуже важливим є широке обговорення проблеми, узагальнення досвіду вчителів, методистів, учених, представити своє бачення проблеми на основі багаторічного досвіду викладання теорії ймовірностей та математичної статистики.