Скорости перемещения точки характеристической поверхности.

Введем понятие скорости перемещения точки характеристической поверхности. как чисто геометрического объекта. Пусть за время поверхность переместилась в новое положение.

. Назовем скоростью перемещения характеристической поверхности в данной точке вектор, определяемый по формуле

при

где

- при ( )

называется величиной переносной скорости характеристической поверхности _{в точке В. Найдем эту скорость.}

Учитываем, что координаты точки удовлетворяют уравнению характеристической поверхности в момент времени . Поэтому имеет место равенство

Считая малым, разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (x,y,z,t) и ограничимся первыми членами этого разложения. Имеем

( )

Учитываем, что =0 и формулы ().

Делим обе части равенства () на , получаем

Или

Переходя к пределу при и учитывая, что можем записать такое равенство

Так как , то получаем равенство

Откуда следует, что скорость перемещения точек характеристической поверхности определяется по формуле

Теперь можно прояснить физический смысл условий, которые должны выполняться на характеристиках.

Условие () дает

Если разделить обе части последнего уравнения на , то получим равенство

Откуда следует, что

Как следует из последнего равенства соответствующая ему характеристическая поверхность перемещается в пространстве вместе с частицами, и ее скорость распространения по газу (относительная скорость ), обозначаемая как ₍ ), равна нулю. Иначе говоря, могут существовать такие характеристические поверхности, для которых частицы газа, находящиеся на них, во все время движения остаются на них Этот случай не интересен.

Значительно важнее случай характеристической поверхности, когда имеет место равенство

из которого следует, что возможны такие характеристические поверхности, которые определяюся уравнениями

_{Полученные два уравнения можно рассматривать как дифференциальные уравнения характеристик двух типов в зависимости от знака правой части}

Геометрическую интерпретацию эти характеристика можно дать, если уравнения ( ) путем деления на

преобразовать к виду

₍₎

Так как , где - скорость распространения характеристической поверхности по газу, то равенство () означает, что , т.е., что характеристические поверхности указанных двух типов распространяются по газу со скоростью звука в двух противоположных направлениях. Они идентичны звуковым волнам, как поверхности слабого разрыва.

В случае установившегося движения время явно не входит в уравнения, описывающие течение газа. Очевидно, оно не входит и в уравнения характеристик, что означает, что и характеристики не перемещаются в пространстве, но распространяются по газу. При этом из равенства () следует, что в установившемся потоке характеристики существуют только при при условии

которое может быть выполнено только при сверхзвуковой скорости потока в рассматриваемой области , так как всегда .

Как отмечалось ранее, неединственность решения задачи Коши связана с необходимостью выполнения и равенства нулю и других определителей системы уравнений () как алгебраических, для определения производных по в данной точке четырехмерного, в общем случае , пространства и трехмерного, в случае стационарного течения, пространства. Наиболее “простыми”представляются двумерные плоские и осесимметричные сверхзвуковые течения газа