Потенциальная энергия системы тело-жидкость

Потенциальная энергия системы тело-жидкость равна сумме потенциальных энергий тела и жидкости. Если имеется неподвижная система координат ( ), ось которой направлена вертикально вверх, то потенциальная энергия тела определится весом тела и уровнем поднятия его центра тяжести над плоскостью = 0

Так как телом вытеснена часть жидкости, то переменная часть потенциальной энергии жидкости убавилась на величину потенциальной энергии этой части жидкости, значение которой равно

,

где - координата центра тяжести объема тела, m – масса вытесненной телом жидкости.

Полная переменная часть потенциальной энергии системы тело-жидкость равна

_{Найдем выражение для потенциальной энергии системы в подвижных осях. Уччитываем, что вектор положения точки С, в общем случае имеет такое представление в неподвижных осях}

Для того, чтобы найти векторное представление для положения центра масс в подвижных осях обратимся к рис. , из которого следует, что положение точки С относительно полюса О определяется вектором

В подвижных осях, связанных с телом, вектор имеет представление

В общем случае центры масс тела (точка С ) и его объема(точка F ) не совпадают. По аналогии с предыдущими формулами можно записать

Подчеркнем, что абсолютное движение тела в жидкости изучается п подвижной системе координат, жестко связанной с телом.

Положение тела относительно неподвижного пространства определяется вектором

где - координаты полюся тела, и тремя углами Эйлера, которые принимаем за обобщенные координаты

- угол собственного вращения,

- угол прецессии,

-угол нутации

Абсолютная скорость полюса определяется по формуле

_{Для вычисления кинетической энергии тела надо знать проекции вектора скорости поюся на подвижные оси, для чего необходимо совершить переходот пнеподвижных осей к подвижным, что достаточно затруднительно. Можно поступить так.Учитываем, что имеет место равенство}

Дифференцируя это равенство по времени получаем

Вектор можно записать в проекциях на подвижные оси

Учитывая, что оси подвижные, можем записать

Раскрывая векторное произведение , входящее в последнюю формулу, можем записать

Принимаем координаты начала неподвижной системы за обобщенные координаты, положив

Используя формулы Эйлера, можем записать

Функция Лагранжа для рассматриваемой системы теперь может быть записана в виде .

Согласно принятым обозначениям имеем

,

, ,

Согласно кинематическим формулам Эйлера и принятым обозначениям

, ,

О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ШАРА В ЖИДКОСТИ

Снопов А.И.

Южный Федеральный университет

Россия

TO THE MOTION OF THE HAVY sphere IN the fluide

Snopov A.I.

В курсах лекций по гидродинамике, читаемых в вузах, исследование движения шара в идеальной несжимаемой жидкости представлено лишь для частных случаев, когда отсутствует силовое поле, а центр масс шара совпадает с его геометрическим центром..[1, 2, 3]. В книге [4] рассмотрен случай вертикального движения в жидкости свободного тяжелого шара.

Ниже излагается обобщенное решение для произвольных начальных условий динамической задачи о движении в безграничной жидкости (при ) шара радиуса а, центр тяжести которого совпадает с его центром. Принимается, что поле скоростей в жидкости безвихревое ( ), а потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа ( -оператор Лапласа). Положение центра шара А в некоторой неподвижной системе координат в любой момент времени определяется радиусом-вектором а его скорость – вектором . В начальный момент времени принимается

, (1)

где векторы и считаются заданными.

Так как принимается, что жидкость идеальная, то вращение шара в ней, если оно имеет место, никак не влияет на ее движение и поэтому на поверхности шара S достаточно выполнять условия непроницания

, где . (2)

Для точки жидкости, положение которой определено радиусом-вектором , принимаем , . В соответствии с работой [5] потенциал поля скоростей и скорости, порожденные в жидкости движущимся шаром, определяются по формулам

, (3)

где .

В этом случае систему жидкость-шар можно рассматривать как систему с тремя степенями свободы, которым ставятся в соответствие координаты центра шара. Функция Лагранжа такой системы , где и соответственно ее кинетическая и потенциальная энергии. При этом

(4)

Учитываем, что , . Так как течение жидкости принято потенциальным, то . Поэтому имеет место равенство и интеграл в выражении ( 4) принимает вид

С помощью формулы Остроградского-Гаусса последний интеграл преобразуется в поверхностный ( - вешняя по отношению к жидкости нормаль к поверхности )

При этом выражение (4) для кинетической энергии системы записывается так

В соответствии с формулами (3) на поверхности шара имеем

,

При этом

Для вычисления последнего интеграла принимаем . Следовательно

Поэтому

(5)

Переменная часть потенциальной энергии системы равна

(6)

где -потенциальная энергия шара, - для жидкости

Если принять в декартовых координатах , , то функция Лагранжа рассматриваемой системы может быть вычислена по формуле

(7)

Так как , , , то уравнения Лагранжа второго рода ( ) принимают вид

(8)

из которых следует векторное уравнение

решение которого, удовлетворяющее условиям (1), определяет траекторию центра шара

(9)

Как следует из последней формулы, центр шара в общем случае движется по параболе, лежащей в плоскости, построенной на векторах и , если их начала совместить с начальным положением центра шара, Эта плоскость расположена вертикально, так как содержит в себе вектор ускорения свободного падения .

При шар движется прямолинейно с постоянной скоростью.

При шар ускоренно всплывает, а при шар ускоренно тонет.

При движении шар испытывает динамическое сопротивление

(10)

которое можно определить на основе теоремы о количестве движения из уравнения

Существенно, что это сопротивление направлено не против скорости, а против ускорения земного тяготения, когда шар тонет, и сонаправлено с ним, когда шар всплывает.