Воспользуемся здесь циклической перестановкой для смешанного произведения векторов и запишем граничное условие на теле в таком виде
|
=
|
+
Введем
обозначения:
=
,
где
=
,
=
=
.
Условие на поверхности тела теперь можно представить так
=
(7.54)
В
системе координат, жестко связанной с
телом, параметры
зависят только от координат точек
поверхности тела, а величины
(проекции векторов абсолютной скорости
полюса тела и абсолютной угловой скорости
тела на подвижные оси координат) являются,
в общем случае, только функциями времени.
7.2.2. Метод Кирхгофа
При построении функции в системе координат, жестко связанной с телом, воспользуемся методом Кирхгофа. Представим функцию в виде следующей суммы
=
,
(7.55)
где
функции
удовлетворяют уравнению Лапласа
=
0
и граничным условиям
0
при
|
=
,
(k
= 1, 2,…,6) (7.56)
При этом уравнения и граничные условия исходной задачи будут полностью удовлетворены.
Таким образом, задача построения функции свелась в шести задачам Неймана с неизменными во времени граничными условиями.
7.2.3. Формулы для вычисления воздействия жидкости на тело
После
того как потенциал
найден, можно определить давления в
жидкости по формуле
(7.57)
следующей
из интеграла Лагранжа-Коши ( [ ]), и
вычислить силовое воздействие жидкости
на тело (главный вектор
и главный момент
этих сил давлений), используя формулы
=
,
=
(7.58)
Однако
прямое использование формулы (7.56) при
вычислении этих интегралов нецелесообразно,
так как величинам
и
можно дать
более наглядное и удобное для вычислений
представление через функцию
.
Возьмем
некоторую произвольную замкнутую
неподвижную геометрическую поверхность
,
полностью охватывающую тело, и рассмотрим
материальный объем жидкости, заключенный
в момент времени t
между поверхностями
и S.
Применим к нему теоремы о количестве
движения и о моменте количества движения.
Внешними силами, действующими на этот
материальный объем, являются объемные
силы тяжести, определяемые как
,
и поверхностные
силы, действующие по поверхности
со стороны жидкости, не включенной в
рассматриваемый материальный объем, и
имеющие главный вектор
=
и главный
момент
=
,
а также силы, действующие на жидкость
со стороны тела и имеющие, очевидно,
главный вектор (-
)
и главный момент (-
).
Пусть количество движения этого
материального объема равно
,
а момент
его количества движения относительно
точки O
–
.
Соответствующие общие теоремы механики (о количестве движения и о моменте количества движения механической системы) запишутся так
d
/dt
=
-
+
,
d
/dt
=
-
+
Отсюда находим
=
- d
/dt
+
,
=
-
d
/dt
+
Изменения за промежуток времени dt количества движения и момента количества движения выбранного материального объема происходят за счет того, что за этот промежуток несколько изменилось поле скоростей в контрольном объеме, а также за счет вытекания через поверхность . части жидкости, принадлежащей материальному объему.
Количество движения и момент количества движения материального объема определяются по формулам
=
,
=
Следовательно,
d
=
+
где
- локальная производная по времени.
При этом формулы для воздействия жидкости на тело принимают вид
=
-
-
+
,
=
-
-
+
На
основании формулы Грина интегралы по
объему можно преобразовать к интегралам
по поверхностям, ограничивающим объем,
так как скорость
-вектор
потенциальный, а
=
-
,
где V
потенциальная энергия поля силы тяжести.
Имеем, учитывая, что в переменных Лагранжа
область
неизменна
=
=
=
=
(
-
)
=
-
(знак “минус” перед вторым интегралом взят потому, что во втором интеграле – внутренняя нормаль по отношению к материальному объему тела, ограниченного поверхностью S, а не внешняя, как принимается в формуле Грина).
Аналогично
получаем, учитывая, что в переменных
Лагранжа
=
,
=
=
=
=
(
-
)=
-
Имеем также
=
-
= -
+
=
-
= -
+
Таким образом, можем записать, что
-
-
=
-
-
=
Интегралы
по
упрощаются
в силу интеграла Лагранжа – Коши (7.57).
Имеем
-
-
=
(7.59)
- - =
=
Вид контрольной поверхности произвольный, а значения левых частей уравнений (7.58) от вида контрольной поверхности не зависят. Очевидно, что
=
=
где
поверхность
также полностью охватывает тело. В
качестве поверхности
примем сферу большого радиуса R.
Учитываем,
что
скорости, порожденные движущимся телом
в жидкости, убывают с удалением от тела
так же, как от диполя, т.е. не хуже, чем
R
,
что следует из результатов проведенного
нами моделирования воздействия тел на
жидкость системами источников. Поэтому
интегралы по поверхности
убывают с ростом радиуса сферы не хуже,
чем R
.
Интегралы же по поверхности
от R
не зависят, однако их значения, как это
следует из приведенной оценки, могут
стать меньше любого наперёд заданного
сколь угодно малого положительного
числа. Следовательно, интегралы по
,
стоящие в правых частях уравнений (7.58)
равны нулю, что позволяет записать
формулы для
и
,
содержащие интегралы только по поверхности
тела S.
Прежде чем записать соответствующие формулы, удобно в уравнениях (7.58) заменить частные производные по времени на полные производные, так как интегралы по поверхности тела S являются функциями только времени (по координатам произведено интегрирование) и преобразовать интегралы по поверхности S, содержащие потенциальную энергию массовых сил V, в объемные, воспользовавшись формулами Остроградского. Имеем
=
= -
=
-
=
=
= -
=
-
=
где
m
=
=
-
масса
жидкости в объеме, вытесненном телом,
- радиус-вектор геометрического центра тяжести тела, - сила Архимеда, действующая на тело со стороны жидкости.
Теперь можно дать такое представление для векторов и
=
+
(7.60)
=
+
