Элементы теории поверхностных волн

Под волновым движением жидкостей и газов обычно подразумевают

неустановившиеся движения этих сред в окрестности некоторого равновесного положения. В случаях несжимаемых жидкостей постоянной плотности большое внимание уделяется гравитационным волнам, сопровождающимся изменением вида свободной поверхности во время движения. Такие волны наблюдаются в водоемах, реках и резервуарах (озера, моря, океаны, баки с неполным заполнением жидкостью в самолетах, ракетах, кораблях, танкерах, цистернах и т.п.)

Краевые условия

На :

На S (F(x,y,z,t)=0):

(кинематическое условие)

(динамическое условие)

Представляем функцию F(x,y,z,t)=0 в таком виде

_тогда

.

и кинематическое условие принимает вид

Давление атмосферы записываем так

Для жидкости справедлив интеграл Лагранжа-Коши . Он должен выполняться и на свободной поверхности

Введем новый потенциал скоростей

В дальнейшем “звездочку” у функции опускаем. Пусть - свободная поверхность жидкости в равновесном положении, - свободная поверхность жидкости при волнении. В силу несжимаемости жидкости должно выполняться равенство

Функция наряду с функцией является искомой функцией координат и времени.

Линеаризация постановки задачи

Возможны случаи, когда при одних и тех же координатах функция неоднозначная, что затрудняет постановку и решение задачи (см. рис. ). Значительные упрощения возможны, если принять

Отбрасывая малые второго прядка в уравнении Лагранжа-Коши, получаем условие, которое надо выполнять на свободной поверхности

Если переменное двление задано, то имеем задачу о вынужденных колебаниях жидкости. Если же =0, то имеем задачу о свободных колебаниях жидкости.

Ограничимся исследованием случаев малых свободных колебаний жидкости Тогда имеем такую постановку задачи.

Решить уравнение

при условиях

На :

На S (F(x,y,z,t)=0)-кинематическое условие ( ) принимает вид

_{А интеграл Лагранжа –Коши () после упрощений дает динамическое условие на свободной поверхности}

Из последних двух уравнений следует

при

Упрощение граничных условий

Сносим граничные условия с неизвестной поверхности на плоскость

В этом случае имеем задачу. Найти решение уравнения

При условиях

На :

на S (при z=0) :

В такой постановке время t является параметром. Зависимость потенциала от времени можно постулировать (задавать заранее). При этом вид свободной поверхности определяется из интеграла Лагранжа –коши по формуле

В качестве начальных условий (так как в постановку задачи входят вторые производные по времени) надо задать два начальных условия: начальное поле скоростей и начальный вид свободной поверхности. Так как течение потенциальное, то достаточно задать начальное значение потенциала скорости и начальный вид свободной поверхности

, ( )

где - заданная непрерывная и дважды дифференцируемая функция координат в области, занятой жидкостью., удовлетворяющая уравнению Лапласа, а , -заданная непрерывная и дифференцируемая по координатам функция, удовлетворяющая интегральному условию ().

Замечание: Начальные условия не задаются, если движение жидкости является периодическим по времени.