Периодические поверхностные волны
Рассмотрим
задачу о периодических волнах малой
амплитуды на поверхности жидкости
постоянной конечной глубины h
. Принимаем, для упрощения задачи, что
течение плоскопараллельное? и выбираем
так систему координат, чтобы все
гидродинамические функции не зависели
от координаты y.
При этом
,
.
В линейной постановке задача сводится
к поиску периодических по времени t
и координате x
решений
двумерного
уравнения
Лапласа
удовлетворяющих краевым условиям:
при
(на свободной поверхности) и
при
(условие непроницания на дне)
Решений уравнения (), удовлетворяющих краевым условиям () бесконечно много. Учитывая, что тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими своих аргументов без особого труда можем установить, что решениями задачи могут быть функции
,
,
если
функцию
и параметры k
и
определить так, чтобы удовлетворялось
уравнение Лапласа () и краевые условия
(). Параметр
в
силу однородности краевой задачи
остается произвольным.
Проведем
необходимые действия с функцией
.
Имеем
Полученное равенство будет всегда выполнено, если приравнять нулю содержимое в квадратных скобках, что приводит к дифференциальному уравнению для определения функции
Решение полученного уравнения удобно представить через гиперболические функции в таком виде
При этом
Выполнение краевого условия () дает
Откуда находим
Таким образом, можем записать, что
,
Выполняем условие () при z=0
из которого следует, что
()
Теперь можно установить вид свободной поверхности в соответствии с формулами ()
и ()
При больших h (h>>1) можем записать
Введем обозначение
Очевидно,
что
является амплитудой волны
Длину волны определим так. Положим
Решение этого уравнения дает величину длины волны
Период колебаний определится из равенства
Точки
пересечения свободной поверхности с
плоскостью
=0
определяются из равенства
И остаются неизменными во все время движения. Их называют узлами
Из равенства () можно найти потенциал скоростей, выраженным через амплитуду волны
Так как скорости частиц жидкости определяются через производные от потенциала в фиксированный момент времени, то можно записать
Если использовать связи () и ()
то из уравнения () будет следовать связь между длиной волны и периодом ее колебаний
Откуда имеем
ПрИ
При
Траектории частиц определяются путем интегрирования уравнений
Из которых следует, с учетом (), система уравнений, определяющая траектории частиц жидкости при стоячих волнах
Прогрессивные волны
Рассмотрим потенциал скоростей в виде суммы потенциалов, описывающих стоячие волны
где
,
Имеем
Подстановкой этой функции в уравнение () и соотвтетствующие граничные условия () можно убедиться, что все они будут удовлетворены. Найдем вид свободной поверхности в соответствии с формулой ()
Горбы волны имеют координаты
Скорость
их перемещения в пространстве равна
и из предыдущей формулы следует, что
Учитывая значение Т ( ), имеем
Для больших глубин
В
случаях мелкой воды, когда
в формуле
можно
положить
и тогда cкорость
перемещения волны равна
и не зависит от длины волны.
Цунами.
Для очень длинных волн( волн цунами) скорости их перемещения могут быть очень большими, как у самолета.
:=10000;
h:=10
м
км/час
:=10000;
h:=100:
м
км/час
h:=1000
м
с
км/час
h:=10000
м
км/час
:=100000;
h:=10 м
км/час
:=100000;
h:=100 м
км/час
:=100000;
h:=1000 м
км/час
:=100000;
h:=10000
м
км/час
Траектории частиц жидкости в прогрессивных волнах.Дрейф частиц.
Интегрирование
этих уравнений дает траектории частиц,
имевших в начальный момент времени
координаты
.
Ниже (рис. ) приводятся траектории
частиц жидкости , имевших в начальный
момент времени координаты
для волы длиной
м, и амплитудой
м, для случаев глубоководья (
м) и мелководья (
м)
,
.Как видим,
скорость дрейфа частиц на мелководье
значительно большая, чем на глубоководье.
Рис. Траектории приповерхностных частиц в прогрессивной волне
Maple- программа расчета дрейфа частицы жидкости в прогрессивной волне
> restart;
> l:=100;hi:=arctan(1.)*4;h:=1000:
> g:=9.81; a:= 2.5:k:=2*hi/l;
> sigma:=sqrt(k*g*tanh(k*h));
> b:=a*g*k/sigma;
>
with(DEtools):
> sys := {diff(x(t), t) = b*cos(k*x(t)-sigma*t)*cosh(k*(h+z(t)))/cosh(k*h),diff(z(t),t) = b*sin(k*x(t)-sigma*t)*sinh(k*(h+z(t)))/cosh(k*h)};
DEplot(sys,[x(t),z(t)],t=0..30,[[x(0)=0,z(0)=0]],x=-1..10,z=-5..0.1,numpoints=2000,linecolor=black,thickness=1);
Энергия прогрессивных волн
=
-
потенциальная энергия покоя жидкости
в рассматриваемом объеме,
-
потенциальная энергия движущейся
жидкости в рассматриваемом объеме
На
единицу длины волны приходится энергии
Е* -
Перенос энергии прогрессивной волной
Рассмотрим
работу сил давлений на границе ВС
выделенного объема жидкости за промежуток
времени dt.
На каждый элемент этой границы площадью
dz
действует
сила давления
(
)dz,
мощность которой равна
(
)dz.
За время dt эта сила совершает работу , равную ( ) dz dt.За время Т волна полностью переходит через плоскость ВС, эта сила совершает работу, равную
.
Давление можно определить из линеаризированного интеграла Лагранжа-Коши
где
Работа всех сил давлений, действующих на границу ВС, равна
А=
А=
А=
При больших глубинах
Волна,
обладающая энергией
и скоростью распространения с, за
время T
перемещается на расстояние
.
За это же время силы давлений совершают
работу, равную половине энергии волны
, что свидетельствует о том, что энергия
волны переносится в два раза медленнее,
чем сама волна распространяется, т.е
со скоростью U=
c/2
Работа в единицу времени (Мощность) равна
W=
.
Следовательно, на глубокой воде энергия
прогрессивной волны, приходящаяся на
единицу длины волны
,
переносится со скоростью U=
.
На создание волны с амплитудой а необходимо путем приложения сил давлений к воде совершать работу, которая превращается в энергию волны. Такое наблюдается при движении корабля.
Если корабль идет со скоростью с и при этом образует волны амплитуды а, то работа силы сопротивления движению корабля W* в единицу времени (мощность корабельного двигателя) определяется половиной энергии волн, образующихся за кораблем в единицу времени.
W*
=
