7.2.4 Векторные уравнения движения тела в жидкости.
При постановке задачи о движение тела в жидкости было сделано предположение, что на бесконечности жидкость покоится. Это означает, что предполагается наличие некоторой инерциальной системе координат, в которой изучается абсолютное движение жидкости и тела. Для исследования движения тела можно использовать неподвижную систему координат и применить теоремы о количестве движения и о моменте количества движения механической системы, вычисляемом относительно некоторой неподвижной точки O.
=
+
М
+
=
+
(М
)
+
где
вектор
определяет положение центра тяжести
тела в текущий момент времени, а верхним
индексом е
помечены
векторы внешнего силового воздействия
на тело помимо жидкости.
Эти уравнения, учитывая формулы (7.59), принимают вид
(
-
)
=
+
М
+
(7.61)
(
-
)
=
+
(М
)
+
Введем обозначения:
вектор присоединенного количества движения тела,
=
- вектор присоединенного кинетического момента тела
Уравнения движения можно записать так
=
+ (М
- m)
(
(7.62)
=
+ (М
-m
)
Следовательно, уравнениям движения тела в жидкости можно придать вид уравнений движения тела в пустоте, если к обычным количеству движения тела и его кинетическому моменту добавить соответственно присоединенные количество движения и кинетический момент, отражающие влияние на движение тела движения жидкости, порожденного самим телом
7.2.5. Уравнения Лагранжа 2 рода, описывающие движение системы тело- жидкость. Присоединенные массы
-этом, что проекции абсолютной скорости полюсатела на неподвижные оси определяются по формулам
,
,
=декартовы
координаты полюса тела
а проекции вектора угловой скорости на подвижные оси, жестко связанные с телом, определяются по кинематическим формулам Эйлера
где
-
углы Эйлера, определяющие положение
тела в неподвижных осях
Кинетическая энергия системы тело-жидкость
Кинетическая энергия системы тело-жидкость равна сумме кинетических энергий тела и жидкости
,
где
- кинетическая энергия тела,
кинетическая энергия жидкости.
Для вычисления кинетической энергии тела воспользуемся формулой
=
.
Используя формулу Эйлера для скоростей точек твердого тела, можно записать
=
=
+
+
Учитываем,
что
= М
,
где М
–
масса тела.
При этом для вычисления смешанного
произведения векторов, входящего в
выражение для кинетической энергии
тела, можно записать
=
=M
=
=
Используя известную формулу теоретической механики для кинетической энергии твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, нетрудно установить что
где
-
компоненты тензора инерции тела для
полюса P.
Таким образом, для кинетической энергии твердого тела, движущегося в жидкости, можно записать формулу
+
+
которую можно представить в таком компактном виде
,
Удобно ввести матрицу коэффициентов этой квадратичной формы
=
из которой следует, что
=
=
=M,
=
,
=
,
=
=
=
=0,
,
,
=
=0,
,
,
=
=0,
,
,
=0,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Для вычисления кинетической энергии жидкости, порожденной движущимся в ней телом, можем записать
После преобразования подынтегральной функции имеем
,
так
как потенциал скоростей
удовлетворяет
уравнению Лапласа
.
Вычислим
сперва, пользуясь формулой Грина [Г.
Корн, Т. Корн. Справочник по математике,
стр. 173], кинетическую энергию конечного
объема жидкости
,
заключенной между поверхностью тела S
и неподвижной контрольной поверхностью
.
Имеем
=
В
качестве контрольной поверхности
принимаем сферу радиуса R
с центром в полюсе тела. При больших R
с ростом R
функция
убывает
не медленнее, чем R
и поэтому подынтегральная функция в
интеграле по поверхности
убывает не медленнее, чем R
,
а сам интеграл убывает не медленнее,
чем R
.
Устремив R
к бесконечности, устанавливаем, что
кинетическая энергия всего безграничного
объема жидкости, порожденная движущимся
телом, может быть вычислена по формуле
(7.68)
Учитывая вид функции (7.55) и формулу (7.68) для кинетической энергии жидкости получаем представление в виде квадратичной формы
(7.69)
коэффициенты которой вычисляются по формуле
=
и называются коэффициентами присоединенных масс.
Полная кинетическая энергия системы тело-жидкость равна сумме соответствующих кинетических энергий и равна
где
..