60

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсу

Механика жидкости и газа

Раздел 7: пространственные течения идеальной

ЖИДКОСТИ

Подраздел 7.2: Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости

для студентов дневного отделения

механико-математического факультета

г. Ростов-на-Дону

2010

Методические указания разработаны доктором технических наук, профессором А.И. Сноповым.

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической компьютерной гидроаэродинамики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол № ______ от _______________ 2010 г.

В данном подразделе излагаются постановки задач и методы их решений для случаев движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Принимается, что жидкость безграничная и на бесконечности покоится, а тело в ней одно. Такая постановка задачи имеет смысл и для случаев, когда другие тела, находящиеся в жидкости и граница области, занятой жидкостью, отстоят достаточно далеко от тела и не оказывают существенного влияния на движение жидкости вблизи тела. Принимается, что движение жидкости, порожденное телом, безвихревое, т.е. потенциальное.

Как известно, движение тела можно рассматривать как состоящее из поступательного движения, характеризуемого движением полюса этого тела, и вращательного движения вокруг полюса. При движении тела в системе отсчета, связанной с неподвижным пространством, угловая скорость вращения тела является функцией времени, а радиусы – векторы точек его поверхности являются не только функциями времени, но и координат точек этой поверхности. Поэтому граничное условие на поверхности тела необходимо выполнять для каждого момента времени, определяя к тому же уравнение поверхности тела для каждого момента времени, чтобы найти соответствующие значения векторов . Это весьма сложная задача. Ее можно несколько упростить, если ввести в рассмотрение систему координат, жестко связанную с телом, начало которой совмещено с полюсом тела. Так как время t в потенциал скорости входит как параметр, то совершенно безразлично, в какой системе координат отыскивается этот потенциал, и поэтому всегда можно мыслить, что в данный момент времени эта, жестко связанная с телом система координат, совпадает с некоторой неподвижной системой координат. При этом учитываем, что вид уравнения Лапласа сохраняется в любой неподвижной системе координат, а если жидкость на бесконечности покоится, то она покоится в любой неподвижной системе координат.

7.2.1 Постановка задачи о движении твердого тела в жидкости

Будем исходить из допущений, что жидкость идеальная, несжимаемая и безграничная, а массовые силы потенциальные, и что тело начало свое движение из состояния покоя в покоящейся жидкости. При такой постановке задачи вихрей в жидкости нет, так как выполнены все условия теоремы Лагранжа о сохранении безвихревых течений жидкости. Это позволяет ввести в рассмотрение потенциал скоростей для потока жидкости, порожденного движением тела

(7.51)

где потенциал должен удовлетворять трехмерному уравнению Лапласа

(7.52)

и соответствующим граничным условиям, вытекающим из постановки задачи,

0 при ?? | = (7.53)

где S – поверхность движущегося тела, – скорость соответствующей точки поверхности тела, в которой выполняется это условие непроницания жидкости через поверхность тела, = = - единичный вектор внешней нормали к поверхности тела в этой же точке.

Абсолютная скорость точки тела, принадлежащей его поверхности, может быть определена по кинематической формуле Эйлера

= ,

где = (U , U , U ), вектор абсолютной мгновенной скорости полюса Р, = (U , U , U ) – вектор абсолютной мгновенной угловой скорости вращения тела, - радиус-вектор этой точки, откладываемый от полюса Р.

При этом имеем

= | + |