3. Деление многочленов без остатка.

Пусть f(x), g(x) и h(x) - ненулевые многочлены

,

Определение. Если многочлены f(x), g(x) и h(x) таковы, что справедливо равенство

,

то говорят, что каждый из многочленов g(x) и h(x) является делителем многочлена f(x). При этом говорят, что многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x) (или h(x)), и тогда многочлен h(x) (или g(x)) называют частным от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) (соответственно h(x)).

Определение. Наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

Свойства делимости многочленов.

1. Если многочлен f(x) делится на многочлен g(x), а многочлен g(x) делится на многочлен h(x), то многочлен f(x) делится на многочлен h(x).

2. Если многочлены f(x) и g(x) делятся на многочлен h(x), то многочлены и делятся на многочлен h(x), а многочлен делится на многочлен .

3. Если многочлен f(x) делится на многочлен g(x), то произведение многочлена f(x) на любой многочлен h(x) также делится на многочлен g(x).

4. Многочлены f(x) и g(x) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда .

5. Если многочлен делится на двучлен , то хотя бы один из многочленов g(x) или h(x) делится на .

4. Деление многочленов с остатком.

Пусть f(x) и g(x) - ненулевые многочлены

,

, ,

Теорема (о делении с остатком). Для любых многочленов f(x), g(x) (g(x)≠0) существует только одна пара многочленов q(x) (неполное частное) и r(x) (остаток), таких, что

,

причем степень остатка r(x) меньше степени частного g(x): .

Любой многочлен f(x) делится на многочлен g(x) ( ) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Суть метода такова. Пусть f(x) и g(x) - ненулевые многочлены

,

Положим частное и остаток

.

Напишем тождественное равенство

.

Перемножая многочлены g(x) и q(x) и приводя подобные члены, получим многочлен n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х этого многочлена и многочлена f(x), получим систему п уравнений, решая которую находим числа , .

Если окажется, что все числа равны нулю, то это означает, что многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x). Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то многочлен f(x) делится на многочлен g(x) с остатком.

Частное и остаток от деления также находят с помощью так называемого правила деления «уголком». При делении многочлена f(x) на многочлен g(x) «уголком» многочлены f(x) и g(x) располагают по убывающим степеням х. Затем старший член многочлена f(x) делят на старший член многочлена g(x) и получают старший член частного – многочлена q(x). Найденный старший член многочлена q(x) умножают на затем на делитель – многочлен g(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена f(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен d₁(x), степень которого меньше n. Если степень многочлена d₁(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен d₁(x) – остаток. Если степень многочлена d₁(x) больше или равна m, то процесс деления повторяется для многочлена d₁(x), т.е. старший член многочлена d₁(x) делят на старший член многочлена g(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена d₁(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен d₂(x), степень которого меньше n-1. Если степень многочлена d₂(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен d₂(x) – остаток. Если степень многочлена d₂(x) больше или равна m, то процесс деления повторяется для многочлена d₂(x).

Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-ом шаге многочлена d_k (x) станет меньше степени многочлена g(x), при этом многочлен d_k (x) – остаток. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример. Даны два многочлена f(x) и g(x):

.

Найти частное и остаток.

Решение.

При делении многочлена f(x) на имеет место тождественное равенство

,

Оно справедливо, в частности, при , т.е. .

Теорема Безу. Остаток от деления f(x) на равен значению многочлена при , т.е. .

Доказательство. По теореме о делении с остатком

,

где или и . Поэтому .

Таким образом, .

Пусть ;

.

Поэтому .■

Следствия теоремы Безу.

1. Многочлен f(x) делится на тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена f(x).

2. Многочлен делится на многочлен при любом натуральном n, причем

.

3. Многочлен делится на многочлен при любом натуральном n, причем

.

4. Многочлен делится на многочлен при любом натуральном n, причем

.