4.2 Операции над матрицами
Сложение матриц.
Определение.
Суммой
матриц
и
одинаковой размерности m´n
называется матрица той же размерности
,
элементы которой
(
)
равны суммам соответствующих элементов
матриц
и
:
Умножение матрицы на число.
Определение.
Произведением
матрицы
на число k
называется матрица
,
элементы которой
(
)
равны произведению соответствующих
элементов матрицы
на число k:
.
Частные случаи умножения матрицы на число:
произведение матрицы А на число 0 равно нулевой матрице А: 0´А =0.
при k= -1, то матрица –А является противоположной матрицей для матрицы А.
Свойства операций сложения и умножения на число:
коммутативность операции сложения матриц : А+В = В+А;
ассоциативность операции сложения матриц: (A+B)+C = A+(B+C);
дистрибутивность относительно сложения матриц: k(A+B)= kA+kB;
дистрибутивность относительно сложения чисел: (k+λ)А=kA+λА;
ассоциативность операции умножения матрицы на число: k(λА)= (kλ)А, где A, B, C – матрицы, k и λ– числа.
Определение.
Линейной
комбинацией
матриц А
и В
одинаковой размерности m´n
называется
выражение вида kА+λВ.
Разность матриц.
Определение.
Если
и
— две матрицы одинаковой
размерности m´n
, то под их разностью
понимается матрица
,
элементы которой
(
)
равны
суммам элементов матрицы
и матрицы
,
умноженной на число k
= -1.
Умножение матриц.
Произведение
матриц
определено только тогда, когда число
столбцов матрицы А
совпадает с числом строк матрицы В.
Определение.
Произведением
матрицы
и матрицы
называется
матрица
,
элементы которой сij
равны сумме произведений элементов
i-ой
строки матрицы
на соответствующие элементы j-ого
столбца матрицы
:
для
.
Теорема (свойства операции умножения).
ассоциативность умножения матриц: (АВ)C = A(BC);
Доказательство. Покажем, что если существует одна из частей равенства, то существует и другая, причем обе части имеют одинаковую размерность.
Пусть
существует матрица (АВ)C,
тогда существует и АВ
и А
размерности
,
В
размерности
.
Таким образом, матрица АВ
имеет размерность
.
При этом
– размерность матрицы С
и (АВ)C
имеет размерность
.
Аналогичными рассуждениями получаем,
что существует матрица A(BC),
которая имеет размерность
.
Покажем,
что соответствующие элементы матриц
(АВ)C
и A(BC)
совпадают. Обозначим элементы матриц
следующим образом:
;
;
.
Тогда по определению произведения
матриц получаем
■
ассоциативность умножения матриц на число: a(АВ)=(aА)В=А(aВ).
отсутствие коммутативности операции умножения матриц: АВ¹ВА (если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными). Возможны следующие причины некоммутативности матриц.
Существует матрица АВ, но не существует ВА.
Матрицы АВ и ВА существуют, но имеют различные размерности. Матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размерности тогда и только тогда, когда А и В квадратные, причем одного и того же порядка.
Матрицы АВ и ВА существуют, имеют одинаковые размерности, но АВ¹ВА.
дистрибутивность операции умножения матриц:
(A+B)C=AС+ВC,
C(A+B) = CA+CB;
Частные случаи умножения матриц:
При умножении матрицы-строки на матрицу -столбец получается число:
.
При умножении матрицы на вектор получается вектор:
,
Единичная матрица Е n-го порядка играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу А такого же порядка, т.е. для любой матрицы А n-го порядка справедливо следующее равенство:
.
Доказательство. Матрицы А и Е имеют одинаковые размерности. Тогда
.
Следовательно,
.
Аналогично доказывается, что
.
■