1.2. Поле комплексных чисел

Понятие комплексного числа, прежде всего, связано с уравнением . Не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению.

Таким образом, комплексные числа возникли как обобщение (расширение) поля действительных чисел при попытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечения корня.

Определение. Число, квадрат которого равен -1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей.

Определение. Полем комплексных чисел С называется минимальное расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .

Определение. Поле С называется полем комплексных чисел, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. .

Теорема. (О существовании и единственности поля комплексных чисел). Существует единственное с точностью до обозначения корня уравнения поле комплексных чисел С.

Каждый элемент можно однозначно представить в следующем виде:

,

где , – корень уравнения i² +1=0.

Определение. Любой элемент называется комплексным числом, действительное число x называется действительной частью числа z и обозначается , действительное число y называется мнимой частью числа z и обозначается .

Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел x и y.

Если х=0, то число z=0+iy=iy называется чисто мнимым или мнимым. Если y=0, то число z=x+0i=х отождествляется с действительным числом х.

Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:

Определение. Два комплексных числа, имеющих одну и ту же действительную часть, мнимые части которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, называются комплексно–сопряженными или просто сопряженными.

Число, сопряженное числу z, обозначается . Таким образом, если , то .

1.3. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел

Геометрически комплексное число изображается на плоскости (рис. 1) как точка М с координатами (x, y).

О пределение. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С, оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются действительной и мнимой осями соответственно.

П

Рис. 1

оложение точки можно определить также с помощью полярных координат r и φ, т.е. с помощью длины радиуса–вектора и величины угла наклона радиуса–вектора точки М(x, y) к положительной действительной полуоси Ох.

Определение. Модулем комплексного числа называется длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа обозначается или буквой r и равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей:

.

Свойства модуля комплексного числа.

1. .

Действительно, , тогда, если .

2. .

Действительно, .

3. .

4. .

5. .

.

6. .

7. 

Рассмотрим на примерах изображения множеств на комплексной плоскости, определенные выражениями, содержащими знак модуля.

Пример. Изобразить множество точек комплексной плоскости, определенных выражением .

Решение.

З апишем данное выражение в виде:

, или .

По определению . Тогда

.

Возведем в квадрат обе части последнего уравнения:

.

Это есть уравнение окружности с центром в точке (0; –1) и радиусом равным 2 (рис. 2).

Пример. Изобразить множество точек комплексной плоскости, определенных неравенством .

Решение.

П о определению . Тогда

.

Возведем неравенство в квадрат: .

Это неравенство можно рассматривать как систему неравенств:

,

которая представляет собой кольцо (рис. 3), ограниченное двумя окружностями и с радиусами 1 и 2 соответственно.

Пример. Изобразить множество точек комплексной плоскости, определенных системой неравенств:

Решение.

Р ассмотрим неравенство (1):

Эта система неравенств представляет собой кольцо, ограниченное двумя окружностями и с радиусами 2 и 3 соответственно.

Рассмотрим неравенство (2): . Таким образом, решением этой системы неравенств является заштрихованная часть полосы (рис. 4).

Определение. Величина угла наклона φ радиус–вектора точки М(x, y), изображающей ненулевое число z называется аргументом этого числа, обозначается и определяется решением уравнения . Угол может принимать любые действительные значения.

Величина определена неоднозначно и определяется с точностью до целого числа, кратного 2π, т.е.

, где

– значение аргумента, принадлежащее отрезку , и называется главным значением аргумента.

Таким образом, аргумент определяется по формуле

При решении задач для вычисления аргумента удобно пользоваться следующей схемой (рис. 5):

Рис. 5

Кроме этого,

1. если z – действительное положительное число ( ), то ;

2. если z – действительное отрицательное число ( ), то ;

3. если z – мнимое положительное число ( ), то ;

4. если z – мнимое отрицательное число ( ), то ;

5. если z = 0, то величина аргумента не имеет смысла.

Важное значение во многих прикладных задачах имеют комплексно-сопряженные числа. Модули комплексно–сопряженных чисел одинаковы, а аргументы отличаются знаком, т.е.

и .

С

Рис. 6

опряженные числа изображаются точками взаимно-симметричными относительно действительной оси (рис. 6).