Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский социально-экономический институт РЭУ им. Плеханова (бывш. СГСЭУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие ЛА май 2011 все гл.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 546 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.6. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме

то действия над комплексными числами определяются следующим образом:

Алгебраическая сумма.

т.е. , .

Произведение.

т.е. чтобы перемножить комплексные числа в тригонометрической форме, достаточно перемножить их модули, а аргументы сложить, или .

Пусть и .

Тогда

Деление.

т.е. при делении двух комплексных чисел в тригонометрической форме, достаточно поделить их модули, а аргументы вычесть, или .

Рассмотрим , где . Тогда и , . Следовательно, и . Окончательно,

Возведение в целую степень.

(формула Муавра)

т.е. при возведении в целую степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, достаточно возвести модуль в соответствующую степень, а аргумент умножить на показатель степени, т.е. .

Пусть . Докажем формулу методом математической индукции. Если n=1, то формула верна, т.к. в этом случае

Предположим, что формула верна для n=k, т.е. Докажем, что формула верна при n=k +1. Имеем

Очевидно, что для n=0 формула верна. Пусть .

Извлечение корня n-й степени.

Определение. Корнем n-й степени из числа z называется комплексное число w, n-я степень которого равна z.

Множество всех корней n-й степени из числа z обозначается , т.е. , если wⁿ = z .

Операция извлечения корня неоднозначна.

Теорема (об извлечении корня). Для любого ненулевого комплексного числа существует точно n различных корней n-й степени из него. При этом имеет место формула

Из формулы следует:

все n различных значений имеют один и тот же модуль, равный ;
все n различных значений корня n-й степени из комплексного числа z являются вершинами правильного n–угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим решение уравнения на множестве комплексной плоскости.

Пример. Решить уравнение .

Решение.

Решим уравнение в виде , для чего представим число z в тригонометрической форме.

Так как и , следовательно,

Все значения корня даются формулой:

При k = 0 имеем ;

при k = 1 ;

при k = 2 ;

при k = 3 ;

при k = 4 .

Рис. 7

Таким образом, все значения корня расположены на окружности радиуса (рис.7). Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент –π/15, остальные расположены с интервалом по φ, равным 2π/5, в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.