11.2. Уточнение решения методом итераций

Оценить ошибки, связанные с округлением, а также уменьшить их можно с помощью простой, но эффективной итерационной процедуры.

Обозначим через найденное методом Гаусса, или любым другим методом приближенное решение СЛАУ (11.1). Подставив это решение в левую часть уравнения (11.1) получим

(11.7)

Очевидно, что если значения сильно отличаются от b₁,b₂,…b_n, то найденное решение содержит большую ошибку. Однако, даже если все близки к b_i, это не значит, что ошибка в найденном решении мала. Например, рассмотрим следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными

Эта система имеет единственное решение x=1, y=1. Попробуем теперь подставить в рассматриваемую систему значения неизвестных x=2.12, y=0. После подстановки получим

Как видим, совершенно далекие от точного решения системы значения неизвестных дают практически одинаковые с точным решением правые части этих двух систем. В данном случае мы имеем дело с так называемой плохо обусловленной системой. В случае системы двух уравнений с двумя неизвестными это связано с тем, что прямые, описываемые уравнениями системы почти параллельны и точка x=2.12, y=0 хотя и не лежит на этих прямых, но очень близка к каждой из них. Таким образом, близость правых частей системы, получаемых после подстановки найденного решения, к исходной не является критерием точности найденного решения.

Для нахождения погрешности найденного решения вычтем каждое уравнение системы (11.7) из соответствующего уравнения системы (11.1). Если ввести обозначения

то вновь полученная система уравнений, в которой неизвестными будут величины , запишется следующим образом

(11.8)

Решая эту систему методом Гаусса, мы фактически найдем значения ошибок в найденном приближенном решении . Новое, более точное приближение к решению системы (11.1) запишется таким образом

Заметим, что новые значения не есть точное решение, так как сами ошибки найдены с некоторой погрешностью.

Найденные значения снова можно подставить в левую часть уравнений системы (11.1) и, обозначив как , полученные при этом правые части, вычесть каждое уравнение новой системы из соответствующего уравнения системы (11.1). В итоге получим следующую систему уравнений относительно новых поправок к решению системы (11.1)

(11.9)

где

Новое, еще более точное приближение к решению системы (11.1) запишется в таком виде

При продолжении описанного процесса каждая следующая поправка будет меньше предыдущей, т.е. . Такой итерационный процесс уточнения решения следует продолжать до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Достигнутая точность, т.е. погрешность в определении найденного решения будет определяться значением поправок на последней итерации.

11.3. Метод прогонки

Метод Гаусса с процедурой выбора главного элемента считается одним из лучших для решения систем линейных уравнений с плотно заполненной матрицей общего вида. Однако часто при решении прикладных задач возникает необходимость решать системы уравнений с матрицей, содержащей большое количество нулевых элементов. В этом случае можно так организовать расчеты, чтобы не включать в них эти нулевые элементы. Метод прогонки является наиболее известным и эффективным методом решения СЛАУ с ленточной матрицей, в которой ненулевые элементы группируются вблизи главной диагонали. Такие системы возникают при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных, интерполировании сплайнами и моделировании некоторых физических и экономических процессов. Метод прогонки можно рассматривать как частный случай метода Гаусса, так как в нем также можно выделить прямой ход, на котором из уравнений исключаются переменные и обратный ход, позволяющий вычислить решение системы. При этом процедуру выбора главного элемента в этом методе применять нельзя, так как перестановка строк или столбцов может разрушить специфическую структуру матрицы системы.

Рассмотрим систему уравнений с трехдиагональной матрицей.

(11.10)

Такие системы принято записывать в каноническом виде

(11.11)

Определение. Формула (11.11) называется разностным уравнением второго порядка, или трехточечным уравнением.

Выразим из первого уравнения системы (11.10) переменную x₁, а из последнего - переменную x_n, предполагая, что b₁ ≠ 0, b_n ≠0,

(11.12)

Определение. Соотношения (11.12) называются краевыми условиями для разностного уравнения (11.11).

Подставляя первое краевое условие во второе уравнение в (11.10), исключим из него переменную x₁. Получим уравнение

, или

, (11.13)

где

Найденное выражение (11.13) для x₂ подставим в следующее уравнение в (11.10) и получим уравнение, связывающее переменные x₃ и x₄ и т.д.

Предполагая, что мы уже выразили в (i–1)–ом уравнении x_i-1 через x_i

, (11.14)

и подставляя выражение для x_i-1 (11.14) в i-е уравнение

,

получим следующую формулу обратного хода

, (11.15)

где коэффициенты задаются рекуррентными формулами прямого хода

(11.16)

Расчет по формулам (11.16) начинается при значении i=2, при этом необходимые значения краевых коэффициентов вычисляются по формулам (11.12).

Для начала расчета по формуле обратного хода (11.15) необходимо вычислить значение x_n. Подставим во второе краевое условие (11.12) выражение для x_n-1, полученное из формулы (11.15) при i=n-1

(11.17)

где заданные в (11.12) краевые коэффициенты, а вычислены по формуле прямого хода (16). Из уравнения (11.17) найдем значение x_n

(11.18)

Таким образом, для нахождения решения сначала по формулам (11.16) вычисляем все коэффициенты , затем по формулам (11.18), (11.15) в обратном порядке вычисляем значения неизвестных.

Вычисления по формулам прогонки (11.16), (11.18), (11.15) требуют всего 3n ячеек памяти и 9n арифметических действий, что делает их значительно более эффективными по сравнению с общими формулами метода Гаусса.

Можно доказать, что если выполнено условие преобладания диагональных элементов

(11.19)

(причем неравенство имеет место хотя бы для одного i), то в формулах прямого хода (16) и формуле (18) не возникает деления на нуль и система имеет единственное решение. Условие (19) является достаточным условием существования единственного решения системы (10). Однако в практических расчетах метод прогонки оказывается достаточно устойчивым и в случаях нарушения данного условия.