9.6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы)

Пусть – линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Определение. Всякий ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться соотношение или в матричном виде

где А – матрица оператора в некотором базисе.

Определение. Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору . Матрица A имеет порядок n.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство в виде , где Е – единичная матрица, а 0 – нулевой вектор пространства Rⁿ, или в координатной форме:

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель , получим уравнение n-й степени относительно неизвестной λ., которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни − характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное значение l;
характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно l;
линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;
если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве Rⁿ, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве Rⁿ; этот базис называют собственным базисом оператора;
матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение или в соответствующую систему однородных уравнений нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение.

Вычислим определитель матрицы A

Понизим порядок определителя, домножив второй столбец на выражение (3-l) и сложив его с первым столбцом, а затем воспользовавшись правилом вычисления определителей:

Корни характеристического уравнения – это числа λ₁=2 и λ₂= −2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения λ в систему уравнений

При λ = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

Применяя метод Гаусса, находим решение этой системы . Следовательно, собственному значению λ = 2 соответствует собственные векторы вида , где λ - любое отличное от нуля действительное число. При λ = –2 имеем: