Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие ЛА май 2011 все гл.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
5.05 Mб
Скачать

8.8.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ) Балансовые соотношения

Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени (например, год).

Обозначим:

общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли

объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при производстве объема продукции .

объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации в непроизводственной сфере (потребление граждан, содержание государственных институтов, удовлетворение общественных потребностей и т.д.) – вектор конечного потребления.

Валовой объем продукции любой i-ой отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах, т.е.

Эти уравнения называются соотношениями баланса.

Так как продукция разных отраслей имеет разные измерения, то будем иметь в виду стоимостной баланс.

Линейная модель межотраслевой экономики

Введем коэффициенты прямых затрат: ( ), показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. В некоторые промежутки времени коэффициенты будут постоянными и могут быть рассмотрены как постоянные числа (технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время). Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:

.

Поэтому построенная модель многоотраслевого (межотраслевого) баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса:

Обозначим:

где

X – вектор валового выпуска

Y – вектор конечного продукта

А – матрица прямых затрат

Таким образом, систему уравнений, выражающих соотношения баланса можно записать в виде матричного уравнения:

,

называемое уравнением линейного межотраслевого баланса (модель Леонтьева).

Используют его в 2-х случаях:

1) известен вектор валового выпуска Х, требуется рассчитать вектор конечного потребления Y.

2) для планирования известен вектор конечного потребления Y и требуется определить вектор Х валового выпуска.

Продуктивные модели Леонтьева

Перепишем уравнение линейного межотраслевого баланса в виде:

.

Определение. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами ( ) существует решение (вектор Х с неотрицательными компонентами) уравнения .

В этом случае модель Леонтьева также называется продуктивной.

Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения :

.

Определение. Матрица называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. , и j, что

Пример. Приведены данные об использовании баланса за отчетный период (усл.ден.ед.):

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

1

2

1

Энергетика

7

21

72

100

2

Машиностроение

12

15

123

150

Вычислить необходимый объем валового выпуска Х каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Имеем:

Найдем коэффициенты прямых затрат по формуле :

или .

Таким образом, матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

.

Найдем

;

По условию вектор конечного продукта . Тогда

,

т.е. валовой выпуск надо увеличить:

в энергетики – до 179 усл.ед.,

в машиностроение – до 160,5.