8.2. Исследование систем линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений означает выяснить, совместна она или несовместна, а в случае совместности выяснить, определена она или неопределенна.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ). Для того, чтобы система m линейных уравнений относительно n неизвестных была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы A и ранг расширенной матрицы , полученной путем приписывания к матрице А столбца свободных членов В, были равны, т.е.

r(A)= r или

.

Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ совместна. Докажем, что r(A)= r . В силу совместности системы существует вектор , такой, что выполняется векторное равенство . Рассмотрим две системы векторов:

– (I) столбцы матрицы А;

– (II) столбцы расширенной матрицы А|B.

Видно, что , поэтому система векторов (I) линейно выражается через систему (II). Верно и обратное: система (II) линейно выражается через систему (I). В самом деле, можно записать:

Следовательно, системы векторов (I) и (II) эквивалентны и r(A)= r .

Достаточность. Пусть r(A)= r . Докажем, что система совместна. Возьмем некоторый базис системы векторов (I) . Эти же вектора образуют базис системы (II), т.к. они линейно независимы и их число r(A)= r , поэтому через векторы линейно выражаются все векторы системы (II), в том числе и вектор В:

.

Ясно, что вектор - решение СЛУ. Таким образом, совместность системы доказана. n

Определение. Если СЛУ совместна, то ранг матрицы этой системы r(A) называется рангом СЛУ.

Теорема (Критерий определенности СЛУ). Совместная СЛУ определена тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен числу неизвестных: .

Теорема (Критерий неопределенности СЛУ). Совместная СЛУ неопределенна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных: .

Таким образом, при исследовании системы СЛУ общего вида ( ) возможны три варианта:

1. если r(A)= r < r =n, то система несовместна;

2. если r(A) = r = r и r =n, где n – число неизвестных, то система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

3. если r(A) = r = r и r <n, где n – число неизвестных, то система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

8.3. Решение системы линейных уравнений в общем случае

Решить систему линейных уравнений значит указать все ее решения или убедиться в том, что их нет, или указать способ их нахождения.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

у которой .

Определение. Неравный нулю минор максимального порядка r матрицы А называется базисным минором этой матрицы:

,

где М – базисный минор матрицы А.

Определение. Базисной подсистемой СЛУ называется совокупность тех уравнений этой системы, коэффициенты при неизвестных которых входят в базисный минор матрицы этой системы:

Теорема. Система линейных уравнений эквивалентна любой своей базисной подсистеме.

Доказательство. а) Пусть - любое решение СЛУ. Это означает, что при его подстановке в систему мы получаем верные числовые равенства:

Рассмотрим первые r равенств из этой системы. Они означают, что вектор является решением базисной подсистемы

,

т.е. все решения исходной системы

являются решениями базисной подсистемы.

б) Пусть - любое решение базисной подсистемы. В расширенной матрице рассмотрим строки, отвечающие базисной подсистеме, т.е. первые r строк матрицы . Эти строки линейно независимы в силу и их количество равно , следовательно, они образуют базис системы всех матрицы . Последнее означает, что любая строка расширенной матрицы линейно выражается через первые r строк матрицы или любое уравнение исходной системы линейно выражается через уравнения базисной подсистемы, поэтому любое решение базисной подсистемы, обращая в верные числовые равенства все уравнения базисной подсистемы, будет обращать в верные числовые равенства и любую линейную комбинацию этих уравнений, в частности, и все уравнения исходной системы. ■

Данная теорема сводит решение исходной СЛУ к решению равносильной ей подсистемы, ранг которой равен r.

Если r =n, то базисная подсистема СЛУ является системой r линейных уравнений с r неизвестными и определитель .

Рассмотрим подробнее случай .

Определение. Базисными (основными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы этой системы.

Определение. Свободными (неосновными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых не входят в базисный минор матрицы этой системы.

В нашем случае переменные называются базисными (основными), а остальные n-r переменных называются свободными (неосновными).

Перепишем систему уравнений, перенеся свободные переменные направо:

Свободные неизвестные объявляются параметрами, которым можно придавать произвольные числовые значения и после этого полученную систему можно рассматривать как систему r линейных уравнений с r неизвестными. В этом случае определитель системы .

Таким образом, каждому набору значений свободных переменных соответствует единственное решение системы .

Определение. Решение системы, в которой все n-r неосновных переменных равны нулю, называются базисным.

Определение. Общим решением системы линейных уравнений называется множество всех ее решений, записанных в виде

,

зависящее от n-r параметров (свободных переменных).