7.3. Упражнения

Найти матрицу А^-1 , обратную матрице А, если:

а) Ответ: ;

б) Ответ: ;

в) Ответ: .

7.4. Контрольные задания

Найти обратную матрицу A^-1 с помощью присоединенной матрицы и метода замещения. Проверить правильность вычислений по формуле

AA^-1=A^-1A=E.

A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=
A=	A=

7.5. Типовой расчет

Дана матрица , где n – номер студента в групповом журнале, а k – номер группы студента.

Найти обратную матрицу A^-1: 1)с помощью присоединенной матрицы; 2)методом замещения. Сделать проверку: AA^-1=E.

7.6. Вопросы для самопроверки

1. Какая матрица называется обратной по отношению к матрице А?

2. Какая матрица называется обратимой?

3. Укажите свойства обратных матриц.

4. Какая матрица называется невырожденной?

5. Какую матрицу называют присоединенной для матрицы А?

6. Укажите методы нахождения обратной матрицы.

7. Каково условие существования обратной матрицы?

8. Сформулируйте теорему об обратимости матриц.

9. Нахождение обратной матрицы

10. Изложите алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

11. Изложите алгоритм нахождения обратной матрицы методом замещения.

12. Что вычисляется с помощью правила прямоугольника?

7.7. Вопросы для теоретического опроса

1. Понятия обратной и обратимой матриц. Свойства обратных матриц.

2. Невырожденная матрица. Теорема об обратимости матриц.

3. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице.

4. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

5. Нахождение обратной матрицы методом замещения.

8. Системы линейных уравнений (слу)

8.1. Неоднородные системы уравнений

Определение. Алгебраическое выражение:

,

содержащее неизвестные в первой степени, называется линейным уравнением.

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется совокупность уравнений вида

,

где и ( ) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

Определение. Система называется неоднородной, если хотя бы один из ее свободных членов отличен от нуля.

Таким образом, система вида

является неоднородной.

Систему уравнений можно представить и в более краткой записи:

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения вида . Для этого введем в рассмотрение следующие матрицы:

,

где А – матрица из коэффициентов при неизвестных, называемая основной матрицей системы , X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов.

Записывая систему уравнений в векторной форме введем обозначения для столбцов матрицы А:

, ,…, .

Тогда система линейных уравнений в векторной форме имеет вид

Определение. Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Решение системы можно рассматривать как вектор пространства Kⁿ.

Ясно, что вектор будет решением тогда и только и тогда, когда выполняется векторное равенство

.

Определение. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, и несовместной (противоречивой), если эта система не имеет решений.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение. Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Определение. Преобразования системы уравнений называются элементарными, если они не изменяют множества решений системы.

К ним относятся:

• умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на число, не равное нулю;

• замена i-го уравнения СЛУ, которая получается путем сложения прибавление к обеим частям i-го уравнения соответствующих частей j-го уравнения, умноженного на число, отличное от нуля.