7.2. Методы нахождения обратной матрицы

7.2.1. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

Теорема (об обратимости матриц). Квадратная матрица А порядка n обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, при этом обратную матрицу можно вычислить по формуле:

где - присоединенная матрица.

Доказательство. Необходимость. Квадратная порядка n обратима, тогда по определению она невырожденная.

Достаточность. Пусть матрица А невырожденная, т.е. . Рассмотрим матрицу . Составим произведение

.

Аналогично

.

Таким образом, существует матрица такая, что . Следовательно, матрица А обратима и ее обратной матрицей является . ■

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель матрицы А. Если определитель матрицы на равен нулю , то матрица невырожденная и обратима;

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А и составить присоединенную матрицу ;

3. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

Пример. Найти обратную матрицу к данной

Решение.

1. Определитель матрицы А не равен нулю, т.е. матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найдем матрицу А^Т, транспонированную к матрице А:

Найдем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А^Т:

,

,

; ,

, ;

,

,

.

и составим присоединенную матрицу: .

3. Вычислим обратную матрицу по формуле .

Проверим правильность вычислений по формуле A A^-1 = A^-1A = E.

.

7.2.2. Нахождение обратной матрицы методом замещения

Вычисление обратной матрицы, используя предыдущий метод, для матриц высокого порядка затруднительно, поэтому на практике удобно находить обратную матрицу с помощью метода замещения, при этом начальную проверку матрицы А на вырожденность можно осуществить в процессе нахождения обратной матрицы этим методом .

Сначала составляется таблица (расширенная матрица) с удвоенным количеством столбцов, состоящая из элементов матриц А и единичной матрицы Е. Слева записывается данная по условию матрица, а справа – единичная. Последовательно заменяются единичные векторы базиса вектор – столбцами матрицы А. В результате на месте исходной матрицы должна получиться единичная матрица, а справа – обратная матрица.

На каждом шаге решения выбирается направляющий элемент а_rs¹0 (любой элемент матрицы А, отличный от нуля), r –я строка называется направляющей строкой, а s–й столбец - направляющим столбцом. Элементы направляющей строки делятся на направляющий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом ;

– элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

а_rs – направляющий элемент.

С хема правила прямоугольника:

После получения новой таблицы выбирается новый, отличный от нуля, направляющий элемент в другой строке, вычисляется новая таблица и т.д., пока в результате замещения исходная матрица А не будет приведена к единичной матрице Е, а на месте единичной матрицы появится обратная А^-1.

Если в результате вычислений обратной матрицы окажется, что процесс замещения продолжить нельзя (все направляющие элементы равны нулю), то матрица является вырожденной и обратной матрицы А^-1 для данной матрицы А не существует.

Пример. Дана матрица . Требуется найти для нее обратную А^-1.

Решение.

Нахождение обратной матрицы начинается с составления исходной таблицы, элементами которой являются коэффициенты разложения векторов по векторам базиса :

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
е1	1	3	4	1	0	0
е2	2	0	-2	0	1	0
е3	-1	2	5	0	0	1

Заменим вектор вектором . На месте направляющего элемента добиваемся единицы, разделив элементы направляющей строки на направляющий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю:

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	3	4	1	0	0
е2	0	-6	-10	-2	1	0
е3	0	5	9	1	0	1

Аналогично ведем в базис вектор вместо вектора . После вычислений получим следующую таблицу:

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	0	-1	0		0
а2	0	1				0
е3	0	0				1

Теперь введем в базис вектор вместо вектора . В итоге получим таблицу:

В Б	а1	а2	а3	е1	е2	е3
а1	1	0	0	-1
а2	0	1	0	2
а3	0	0	1	-1

в которой на месте исходной матрицы стоит единичная матрица, а на месте единичной – обратная:

.

Убедимся в правильности решения:

.