6. Ранг матрицы

6.1. Основные понятия

Понятие ранга тесно связано с понятием линейной зависимости и независимости ее строк или столбцов.

Линейная зависимость матрицы означает, что хотя бы одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых векторов, через которые линейно выражаются все остальные.

Ранг матрицы А обозначается через r(A).

Например:

, n = 3, r = 1,

т.е. порядок матрицы равен 3, а ранг равен 1, так как линейно независимой является только первая строка. Вторая и третья строки получаются умножением первой строки на соответствующий коэффициент (в данном случае – это коэффициенты 2 и ).

Рассмотрим прямоугольную матрицу A=(a_ij)   ( ). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n: . Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим.

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров данной матрицы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольную матрицу A=(a_ij) ( ). Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы равен r. Без ограничения общности будем считать, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы А:

; .

1. Покажем, что первые r столбцов матрицы А линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы, тогда по критерию линейной зависимости хотя бы один столбец (например, первый) является линейной комбинацией остальных r -1 столбцов матрицы А. Переходя к столбцам минора М, получаем, что его первый столбец с теми же коэффициентами линейно выражается через остальные r -1 столбцов. Тогда по свойству 8 определителей минор М=0, что противоречит условию.

2. Покажем, что любой l-й столбец матрицы А, , линейно выражается через первые r столбцов матрицы А. пусть и l – фиксированное число, такое, что . Рассмотрим определители , получающиеся из минора М приписыванием элементов i-й строки и l-ого столбца матрицы А (таких имеется m штук).

Покажем, что все . В самом деле, если , то как определитель с двумя одинаковыми строками.

Разложим по элементам последней строки. Алгебраическое дополнение элемента a_il: . Если , то алгебраическое дополнение элемента a_ij:

,

причем A_ij не зависит от индекса i. Поэтому

.

Запишем последнее равенство через столбцы матрицы А.

.

Видно, что l-й столбец матрицы А линейно выражается через ее первые r столбцов с коэффициентами .

Из шагов 1 и 2 следует, что первые r столбцов образуют базис всех столбцов А. Поэтому . ■

Свойства ранга матрицы:

ранг матрицы r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. A=0;

для квадратной матрицы n – го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица A – невырожденная.

при транспонировании матрицы ее ранг не меняется

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

• ;

• ;

• ;

• ;

• , если В – квадратная матрица и ;