5.4. Теорема Лапласа (вычисление определителя n-ого порядка).

Чтобы сформулировать правило вычисления определителя n-ого порядка, введем понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Пусть дан определитель n-ого порядка.

Определение. Минором М k-го порядка данного определителя (матрицы) называется определитель, порожденный матрицей, состоящей из элементов, находящихся на пересечении любых k строк и k столбцов данного определителя (матрицы).

Замечание. Минорами первого порядка являются элементы определителя. При k= n есть только один минор Δ.

Пусть дан определитель n-ого порядка, а в нем минор М k-ого порядка.

Определение. Дополнительным до минора М называется определитель n - k-ого порядка, порожденный матрицей, состоящей из элементов, находящихся на пересечении тех строк и тех столбцов, которые не вошли в минор М.

Дополнительный минор обозначается . Ясно, что .

Определение. Алгебраическим дополнением A_М минора М определителя ∆ называется его дополнительный минор , взятый со знаком плюс или минус в зависимости от того, четной или нечетной является сумма номеров строк и столбцов, на пересечении которых находится данный минор М:

,

причем минор стоит на пересечении строк с номерами , столбцов с номерами .

Теорема. Пусть дан определитель ∆ n-ого порядка, в нем зафиксировано k строк, . Тогда ∆ равен сумме произведений всевозможных миноров k-ого порядка, составленных из выбранных k строк на их алгебраические дополнения:

,

где - всевозможные миноры k –го порядка, составленные из выбранных строк k строк определителя ∆.

При k =1 i-я строка определителя ∆ представляет собой n миноров 1-го порядка. Для элемента а_ij через М_ij обозначим дополнительный минор. По определению его порядок равен n –1, а он сам получается из ∆ «вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Определение. Минором М_ij элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель (n–1)-ого порядка, полученный из исходного путем «вычеркивания» i-й строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij.

Например, минор элемента а₂₂ определителя 3-ого порядка будет

.

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij определителя n-ого порядка называется соответствующий ему минор, взятый со знаком плюс, если сумма (i+j) номеров строки и столбца– четное число, или со знаком минус, если сумма (i+j) – нечетное число.

.

Например: .

Следствие 1. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Пример. Найти определитель Δ: а) разложив его по элементам первой строки; б) разложив его по элементам второго столбца:

.

Решение.

а) Для вычисления определителя по первой строке

.

Найдем алгебраические дополнения для элементов первой строки элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

б) Для вычисления определителя по элементам второго столбца

.

найдем алгебраические дополнения для соответствующих элементов (так как элемент , то можно не вычислять его алгебраическое дополнение):

,

,

.

Подставим полученные значения в формулу:

Следствие 2. Пусть - произвольный набор n чисел. Сумма произведений чисел на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-й строки определителя ∆ равна новому определителю ∆₁, полученный из данного ∆ заменой элементов i-й строки на :

Следствие 3. Сумма произведений элементов некоторой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки этой матрицы равна нулю: .

В самом деле, если в следствии 3 взять , то в определителе получаем две одинаковые строки и по свойству определителя ∆=0.

Следствие 4. определитель треугольной матрицы и, в частности, диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Учитывая, что , где символ Кронекера. Тогда в терминах символа Кронекера следствия 3 и 4 записываются следующим образом:

.

Теорема (об определителе произведения матриц). Определитель произведения нескольких квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

,

где – множество квадратных матриц n- го порядка с элементами поля k.

Правила вычисления определителей

1. Определитель квадратной матрицы первого порядка , состоящей из одного числа равен самому этому числу : .

2. Определителем квадратной матрицы второго порядка является число, равное разности произведений его элементов главной и вспомогательной диагонали: .

Вычисление определителем второго порядка можно показать схемой:

3. Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисленное по следующей формуле:

.

При вычислении определителем третьего порядка можно пользоваться правилом «треугольника» (правилу Саррюса), где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+», либо со знаком «–» по следующей схеме:

«+» «–»