5.2. Определители (детерминанты) квадратных матриц

Определение. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам.

Определитель квадратной матрицы n-го порядка обозначается символами .

Пусть A = (a_ij)   ( ) — квадратная матрица порядка n. Рассмотрим все возможные произведения n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: , где индексы (i₁, i₂,..., i_n) – номера столбцов, которые составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Таких произведений можно составить столько, сколько существует перестановок n символов (i₁, i₂,..., i_n), т.е. равно n!. Все эти n! произведений называются членами определителя, причем каждому из них приписывается знак (- 1)^t, где t - число инверсий в перестановке (i₁, i₂,..., i_n).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице A n-го порядка, называется алгебраическая сумма n! членов вида , каждый из которых является произведением n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при этом члену приписывается знак плюс или минус, в зависимости от того, четную или нечетную перестановку образуют индексы столбцов элементов члена, при условии, что первые индексы расположены в порядке следования строк: где t – число инверсий в перестановке (i₁, i₂,..., i_n).

Обозначается определитель следующим образом: Тогда

Теорема (о знаке члена определителя). Знак члена определителя совпадает со знаком , где s – число инверсий в перестановке индексов строк , а t – число инверсий в перестановке индексов столбцов .

Доказательство. Покажем, что четность числа s+ t не меняется, если в члене определителя поменять местами некоторые два элемента. Пусть это будут первые два: . Обозначим через - число инверсий в перестановке индексов строк , - число инверсий в перестановке индексов столбцов . Уже было доказано, что одна транспозиция в перестановке меняет ее тип на противоположный, поэтому числа и являются нечетными, их сумма ( )+( ) – четная, а также число тоже четно. Следовательно, и - числа одинаковой четности.

В произведении аналогично последовательной перестановкой множителей разложим их в порядке следования строк. Получим член , знак которого совпадает с , где - число инверсий в перестановке , т.к. для данного члена =0. Выше показано, что четности чисел и совпадают, следовательно, = . ■

5.3. Свойства определителей

1. Свойство равноправия строк и столбцов определителя. Величина определителя при транспонировании не меняется, т.е. .

Доказательство. Легко видеть, что любой член в составе определителя является членом в составе определителя и обратно. Таким образом, определители и состоят из одинаковых членов. Покажем, что имеет место также и совпадение знаков этих членов. В самом деле, знак члена в составе определителя по теореме о знаке члена определителя , где t – число инверсий в перестановке Знак члена в составе определителя , где - число инверсий в перестановке индексов строк , а - число инверсий в перестановке индексов столбцов (1, 2, …, n). Получаем, , следовательно, . ■

Замечание. Свойство равноправия строк и столбцов дает возможность формулировать остальные свойства в терминах строк, в терминах столбцов они выполняются автоматически.

2. Знакопеременность определителя. Если две строки определителя поменять местами, то он только изменит свой знак на противоположный.

Доказательство. По условию

Ясно, что общий член определителя является общим членом определителя и обратно. Таким образом, определители и состоят из одинаковых членов. Покажем, что имеет место совпадение знаков этих членов. Знак члена в составе определителя (–1)^t , где t – число инверсий в перестановке . Знак члена в составе определителя , где  – число инверсий в перестановке . Числа t и имеют противоположную четность, поэтому и – противоположные знаки. ■

3. Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойством 2

.

Следовательно, . ■

4. Однородность определителя. Если все элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Воспользуемся определением:

■

5. Если определитель содержит строку, состоящую из нулей, то такой определитель равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойством 4 при с = 0. ■

6. Однородность определителя. Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 4 и 3:

■

7. Аддитивность определителя. Если все элементы i-ой строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, все элементы которых, кроме i-ой строки, совпадают с элементами данного определителя, а элементами i-ой строки первого определителя являются первые слагаемые, элементами i-ой строки второго определителя являются вторые слагаемые элементов i-ой строки исходного определителя:

Доказательство. Воспользуемся свойством 4.

.

Обозначим строки определителя . ■

Определение. Говорят, что i-я строка определителя является линейной комбинацией остальных строк, если существует набор чисел , одновременно не равные нулю , такие, что i-я строка равна умноженному на 1-ю строку плюс умноженному на 2-ю строку и т.д. плюс умноженному на n-ю строку, т.е.

_.

8. Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть i-я строка определителя является линейной комбинацией его строк с номерами . Для доказательства используем свойства аддитивности и однородности.

■

9. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то величина определителя не изменится.