3.13. Нормирование ненулевого вектора
Пусть
(Евклидово или унитарное). Рассмотрим
.
Посчитаем
.
,
-
нормирование ненулевого вектора х;
он пропорционален х
и имеет единичную длину.
Следствие. Неравенство Коши-Буняковского в Rn:
.
и в Cn:
.
3.14. Ортонормированные системы векторов
Определение.
Пусть
- произвольное Евклидово (унитарное)
пространство и
.
Тогда косинус угла между х
и у
определяется
.
Если х=0 или у=0, то угол неопределен.
Определение.
Два вектора
х
и у
в произвольном Евклидовом (унитарном)
пространстве называются ортогональными,
если
и обозначают х^у.
Следствие.
ортогонален всем векторам из
тогда и только тогда, когда х=0.
(
.
Возьмем
.)
Предложение.
Пусть
- система ненулевых попарно ортогональных
векторов Евклидова (унитарного)
пространства
.
Тогда эта система линейно независима.
Доказательство.
Предположим, что система векторов
линейно зависима. Тогда имеется набор
чисел
,
не все равные нулю, такие, что
.
Пусть
.
Умножим скалярно обе части уравнения
на
.
Получим
.
Или, пользуясь линейностью скалярного произведения,
В
силу ортогональности векторов
получим равенство
,
возможное только при
.
Получили противоречие. ■
Определение. Базис Евклидова (унитарного) пространства, состоящий из попарно ортогональных векторов называется ортогональным.
Определение.
Базис
Евклидова (унитарного) пространства
называется ортонормированным,
если он состоит из попарно ортогональных
векторов и нормы всех векторов в базисе
равны единице (т.е. вектора нормированы).
Вектора
образуют базис (
.
Теорема.
(Критерий ортогональности).
Базис
в Евклидовом (унитарном) пространстве
является ортонормированным тогда и
только тогда, когда скалярное произведение
в координатах в этом базисе задается
по формуле
для
R,
для
С.
Доказательство. Пусть - произвольный вектор. Разложим его по ортонормированному базису
,
где
- координаты вектора в базисе е.
Тогда
.
Таким образом
вычисляется i-я координата вектора х. ■
3.15. Упражнения
Даны векторы:
,
,
,
,
,
,
,
.
Найти среди них равные, противоположные и единичные векторы.
Сумма каких двух векторов равна нулевому вектору?
Разность каких двух векторов равна нулевому вектору?
Вычислить компоненты векторов:
, 
,
.
Ответ:
a.
;
;
;
7=
2;
б.
,
и
,
;
в. , ;
г.
;
;
.
Даны два вектора
и
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
Ответ:
.
Найти скалярное произведение следующих пар векторов:
,
;
,
;
.
Ответ:
;
;
.
Найти скалярное произведение вектора
и вектора
.
Ответ:
.
Даны два вектора АВ и СD, причем
,
,
,
.Определить,
ортогональны они друг другу или нет.
Ответ: АВ ^ СD.
При каком значении k векторы
и
ортогональны?
Ответ:
.
Используя метод замещения, показать, что системы векторов линейно независимы:
,
,
;
, 
,
,
;
,
, 
, 
.
Используя метод замещения, показать, что системы векторов линейно зависимы и найти ранги системы векторов.
,
,
;
, 
,
,
;
, 
,
,
;
,
, 
.
Найти ранг и базис системы векторов
,
, 
,
.
содержащий
вектор
,
и все векторы, не входящие в этот базис,
разложить по базису.
Ответ:
r
=3;
;
;
.
Найти ранг и базис системы векторов
,
, 
,
.
содержащий
векторы
и
,
и векторы, не входящие в этот базис,
разложить по базису.
Ответ:
r
=3;
;
;
.
Найти два базиса системы векторов
,
,
,
,
,
,
единственными общими векторами которых
служат
и
.
Ответ:
и
.