3.11. Евклидовы и унитарные пространства

Пусть – произвольное конечномерное линейное векторное пространство над полем K, в качестве которого рассмотрим поле действительных чисел R или поле комплексных чисел. С. В данном разделе мы будем изучать Евклидовы и унитарные пространства, которые являются линейными векторными пространствами, в которых дополнительно вводят понятия длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения, причем последнее является основным понятием.

Определение. Линейное векторное пространство над полем действительных чисел R будем называть действительным линейным векторным пространством.

Определение. Линейное векторное пространство над полем комплексных чисел С будем называть комплексным линейным векторным пространством.

Определение. Пусть — действительное линейное векторное пространство. Скалярным произведением на пространстве называется действительнозначная функция двух векторных аргументов, которая каждой паре векторов ставит в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов и , для которого выполняются следующие аксиомы:.

1. – симметричность;

2. – однородность по первому аргументу;

3. – аддитивность по первому аргументу;

4. – положительная определенность.

Определение. Действительное линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется Евклидовым пространством.

Определение. Пусть комплексное линейное векторное пространство. Скалярным произведением на пространстве называется комплекснозначная функция двух векторных аргументов, которая каждой паре векторов ставит в соответствие комплексное число , называемое скалярным произведением векторов и , для которого выполняются следующие аксиомы:.

1. – антисимметричность;

2. – однородность по первому аргументу;

3. – аддитивность по первому аргументу;

4. – положительная определенность.

Определение. Комплексное линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется унитарным векторным пространством.

Свойства скалярного произведения:

1. ;

2. – линейность по первому аргументу;

3. – полулинейность по второму аргументу.

Пусть – Евклидово или унитарное пространство конечной размерности. Обозначим через базис этого пространства. Разложим векторы векторов по базису:

и

Тогда скалярное произведение векторов и получим, пользуясь свойством линейности по первому аргументу и свойством полулинейности по второму:

.

3.12. Норма вектора

Определение. Пусть V – произвольное Евклидово (унитарное) пространство. Нормой (длиной) называют неотрицательное число

.

Свойства нормы.

1. .

2. .

_{Действительно,}

_.

Теорема Неравенство Коши-Буняковского . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы.

Доказательство. Рассмотрим унитарное пространство. Возьмем , построим вектор . Тогда и в силу полулинейности скалярного произведения

Выберем при условии, что . (Если , то неравенство очевидно.) Получим

Умножим обе части на ,

.

Из общих частей извлечем арифметический корень:

■

Случай равенства рассмотреть самостоятельно.

Теорема Неравенство треугольника

.

Доказательство.

. ■

Введем расстояние: .

Свойства расстояния.

1. ;

2. - симметричность;

3. - неравенство треугольника.