3.10. Линейные пространства
Введем следующие обозначения:
K – некоторое фиксированное произвольное поле, которое будем называть основным;
– некоторое
множество;
– элементы
множества
,
которые будем называть векторами.
Определение.
Линейным
(векторным)
пространством
над полем K
называется непустое множество
,
рассматриваемое вместе с определенными
на нем внутренней бинарной операцией
сложения и внешней операцией умножения
на элементы поля K,
если эти операции удовлетворяют следующим
свойствам, называемым аксиомами линейного
(векторного) пространства:
;
;
;
;
.
;
Замечание.
Внутренняя операция сложения означает,
что если
,
то
.
Внешняя операция произведения вектора
на скаляр
означает, что если
и
,
то в
определен элемент
:
.
Аксиомы 1–3 означают, что существует
0-вектор
,
определяемый следующим образом:
и
Можно
ввести операцию вычитания, полагая
,
в частности, решением уравнения в аксиоме
3 является разность
.
Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое число N, что количество векторов любой линейно независимой системы пространства не превосходит N.
Определение. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого N в существует не менее N линейно независимых векторов.
Для конечномерных пространств справедливы уже известные понятия и факты, в числе которых понятие базиса, ранга, эквивалентности двух систем векторов, различные определения базисов системы векторов вместе с их свойствами.
Определение. Базисом пространства называется любая линейно независимая система векторов, через которую линейно выражается любой вектор из .
Определение. Базисом пространства называется любая максимальная линейно независимая система векторов из .
Определение. Размерностью конечномерного пространства называется его ранг, т.е. максимальное число линейно независимых векторов из
.
Размерностью
нулевого (тривиального) векторного
пространства
,
состоящего из единственного нулевого
вектора, считается по определению
.
Далее
будем предполагать, что
– нетривиальное
векторное пространство, такое, что
.
Пусть
– базис
пространства
.
Следствие. Запись любого вектора из пространства в виде линейной комбинации базисных векторов однозначна.
Доказательство.
Пусть
имеем два представления вектора
с помощью линейных комбинаций базисных
векторов:
Тогда получаем
,
что
означает
в силу линейной независимости векторов
базиса. Таким образом,
.
n
Замечание. Рассматривая базис пространства будем предполагать, что он упорядочен.
Определение. Координатами (компонентами) вектора относительно заданного базиса называются соответствующие коэффициенты его линейного разложения по базису.
Пример. Пусть V множество свободных векторов на прямой (на плоскости, в пространстве).
Основным полем K здесь является поле действительных чисел, поэтому V является линейным пространством над полем R, если в качестве действий над векторами рассматривать действия, определенные в аналитической геометрии. Размерность dim V равна 1, 2 или 3 в случае прямой, плоскости и пространства соответственно. На прямой базисом служит любой ненулевой вектор, на плоскости - любая пара неколлинеарных векторов, в пространстве — любая тройка некомпланарных векторов.
Пример.
Пусть
– координатное пространство
векторов-столбцов. Базисом является
система единичных векторов
размерностью – .