3.6. Операции над векторами

1. Сложение векторов. Под суммой двух векторов и понимается вектор , компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов:

.

2. Произведение вектора на число. Произведением скаляра l на вектор называется вектор , координаты которого равны координатам вектора , умноженным на скаляр l:

.

Определение. Вектор , координаты которого являются противоположными числами для координат вектора , называется вектором противоположным вектору .

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению , называется разностью векторов и , .

Вектор х, удовлетворяющий уравнению , может быть найден в виде .

Определение. Множество K ⁿ всех n-мерных векторов над полем K, рассматриваемое вместе с определенными на нем операциями сложения векторов и умножения векторов на число, называется n-мерных линейным (векторным) пространством (K ⁿ, + , ´).

Свойства арифметических операций над векторами:

1. – коммутативность сложения векторов;

2. – ассоциативность сложения векторов;

3. – обратимость сложения векторов;

4. – ассоциативность умножения относительно числового множителя)

5. – дистрибутивность умножения относительно сложения векторов;

6. – дистрибутивность умножения относительно числового множителя.

Доказательство. Докажем свойство коммутативности векторов.

Докажем свойство обратимость сложения векторов. Найдем вектор , такой, что выполняется равенство .

.

Таким образом, выполняется или выполняется и вектор определен своими координатами . ■

Остальные свойства доказываются аналогично.

3.7. Линейная зависимость векторов.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией системы векторов , если существуют такие скаляры , что имеет место равенство:

.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией других векторов системы.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие скаляры , среди которых есть по крайней мере один, отличный от нуля, что имеет место равенство:

.

Замечание. Для линейно зависимой системы векторов существует неотрицательная линейная комбинация, обращающаяся в ноль. В случае одного вектора линейная зависимость означает, что , а линейная независимость – .

Пример. Даны два вектора: , . Очевидно, что , т.е. вектор является линейной комбинацией вектора . Следовательно, вектора и линейно зависимы.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

.

справедливо только в случае, когда .

Теорема (Критерий линейной независимости). Система векторов , где , является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы линейно выражается через остальные векторы.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы. По определению это означает, что существует набор чисел , не все равные нулю, такие, что . Предположим, что . Тогда

т.е. вектор линейно выражается через остальные .

Достаточность. Пусть вектор линейно выражается через остальные :

а, значит, неотрицательная линейная комбинация векторов обращается в ноль. Тогда система векторов линейно зависима. n

Свойства линейной зависимости

1. Если какая-либо подсистема векторов линейно зависима, то линейно зависима и вся система векторов .

Доказательство. Пусть подсистема векторов (r < s) линейно зависима. По определению это означает, что существуют числа , не все одновременно равные нулю, такие, что . Не нарушая равенства, добавим в левую часть остальные (s - r) векторов с нулевыми :

Получаем, что линейная комбинация векторов равна нулю, что по определению означает линейную зависимость системы векторов .n

2. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Доказательство. Предположим, что в линейно независимой системе существует линейно зависимая подсистема. Тогда по свойству 1 вся система векторов должна быть линейно зависимой, что противоречит условию. n

3. Если система векторов линейно независима, а система линейно зависима, то вектор b линейно выражается через .

Доказательство. По условию система линейно зависима, следовательно, существует набор чисел , не все равные нулю, такие что

Покажем, что . Предположим, что , тогда , причем не все равны нулю. Это означает линейную зависимость системы , что противоречит условию. Поэтому и .n

4. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и линейно зависимы, т.е. существуют числа и , одновременно не равные нулю, такие, что . Предположим, что . Тогда , следовательно и пропорциональны.

Достаточность. Пусть векторы и пропорциональны, т.е. (или ). Тогда - это линейная комбинация векторов и , поэтому и линейно зависимы. n

5. Если система векторов содержит хотя бы два пропорциональных вектора или нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство следует из свойства 4.

Теорема. Пусть даны две системы векторов

(I)

(II)

причем, (I) линейно независима и каждый вектор этой системы линейно выражается через векторы системы (II). Тогда .

Доказательство. Докажем методом математической индукции по количеству векторов системы (II). Установим справедливость теоремы для q=1. Докажем, что . Предположим обратное, что . Это означает, что в системе (I) имеются по крайней мере два вектора, которые линейно выражаются через :

.

Ясно, что (если , то и система (I) была бы линейно зависимой).

Таким образом, , т.е. векторы и пропорциональны, поэтому по свойству 4 система (I) линейно зависима. Получили противоречие условию, следовательно, наше предположение не верно и .

Пусть утверждение теоремы верно в случае, когда система (II) содержит вектор. Установим справедливость теоремы для случая q векторов. По условию все векторы системы (I) линейно выражаются через векторы (II).

(1)

Рассмотрим два возможных случая.

1) В равенствах (1) все скаляры при равны нулю, т.е. . Тогда равенства указывают на то, что система (I) линейно выражается через векторы и по предположению индукции .

2) Не все скаляры в равенствах (1) при равны нулю. Пусть . В первых (p-1) равенствах из (1) исключим с помощью последнего соотношения. Для этого последнее равенство умножим на вычтем его из i-го равенства Тогда получим

(2)

где

Получаем две системы

(I^*)

(II^*)

Покажем, что система (I^*) является линейно независимой. Пусть имеются такие, что

(3)

где .

По условию теоремы система (I) линейно независима, т.е. равенство (3) возможно только при . Система (I^*) является подсистемой линейно независимой системы (I), следовательно, по свойству 2 система (I^*) линейно независима. Равенства (2) указывают на то, что все векторы линейно независимой системы (I^*) линейно выражаются через систему (II ^*), в которой есть q-1 вектор. По предположению индукции число векторов в (I^*) р-1 не превосходит q-1, следовательно, . ■

Теорема (О максимальном числе линейно независимых векторов). В координатном линейном векторном пространстве Kⁿ существуют линейно независимые системы, состоящие из n векторов, через которые линейно выражаются все векторы пространства Kⁿ. Любая система, состоящая из более чем n векторов, является линейно зависимой.

Доказательство. В пространстве Kⁿ рассмотрим единичные векторы

Покажем их линейную независимость. Пусть

Пусть - некоторый произвольный вектор. Представим его в виде линейной комбинации единичных векторов :

Пусть - любая линейно независимая система векторов пространства Kⁿ. Все векторы линейно выражаются через единичные векторы . По основной теореме о линейной независимости , поэтому если система содержит более n векторов, то она линейно зависима. ■

Определение. Линейно независимая система векторов называется максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов А (непустое, может быть, бесконечное множество векторов), если при присоединении к ней любого вектора она становится линейно зависимой.

Любая линейно независимая система, состоящая из n векторов, является максимальной в пространстве Kⁿ.