3.4. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними.

,

Геометрические свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

2. Длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора: .

3. Косинус угла между векторами и можно вычислить по формуле:

Алгебраические свойства скалярного произведения.

4. Коммутативность скалярного произведения. Величина скалярного произведения не зависит от порядка множителей.

5. Числовой множитель можно отнести к любому из множителей или вынести за знак скалярного произведения

Выражение скалярного произведения в произвольных и ортонормированных координатах.

Пусть в пространстве задан произвольный базис .

Определение. Скалярные произведения базисных векторов будем называть метрическими параметрами данного пространства.

Рассмотрим векторы и и выразим их скалярное произведение через координаты и и метрические параметры пространства . Получаем выражение для скалярного произведения векторов и а и 6 в произвольном пространстве

Для ортонормированного базиса, когда метрические параметры пространства совпадают с символом Кронекера , имеем:

Определение. Длиной или модулем вектора |a| называется число, равное корню квадратному из скалярного квадрата .

Определение. Два вектора и называются ортоганальными, когда скалярное произведение равно нулю: .

Определение. Вектор называется нормированным, если его скалярный квадрат равен единице.

_{Найдем выражение скалярного произведения через координаты.}

_{Пусть заданы векторы}

и , тогда

Будем использовать таблицу скалярного произведения векторов :

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Тогда

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

3.5. N-мерные векторы и действия над ними

Пусть K- фиксированное числовое поле, которое будем называть основным. Элементы поля K будем называть скалярами.

Определение. n-мерным вектором над полем K называют упорядоченную совокупность n вещественных чисел поля K и обозначают , где числа называют компонентами, или координатами, вектора.

Множество n-мерных векторов над полем K обозначается K ⁿ.

Определение. Два вектора и называются равными, если они равны все их соответствующие компоненты:

.

Определение. Вектор же, все компоненты которого равны нулю, называется нулевым или нуль - вектором и обозначается: .

Определение. Вектор, i-ая компонента которого равна единице, а остальные компоненты равны нулю, называется i–ым единичным вектором и обозначается: .