3.2. Операции над векторами

1. Операция сложения векторов.

П усть и - векторы на плоскости или в пространстве.

Определение. Суммой векторов и называют вектор , соединяющий начало вектора и конец вектора при условии, что векторы и отложены последовательно.

В общем случае суммой векторов называется вектор, определяемый правилом многоугольника или правилом параллелограмма.

Е сли складывают только два вектора, вместо правила многоугольника применяют правило параллелограмма.

Правило параллелограмма. Сумма двух неколлинеарных векторов, отложенных от общего начала, совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах как на сторонах, и выходящей из того же начала.

П равило многоугольника. Чтобы найти сумму векторов нужно от произвольной точки пространства отложить первый вектор , затем от его конца отложить второй вектор и т.д. Вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего, называется суммой данных векторов.

Алгебраические свойства сложения:

1. - коммутативность сложения векторов;

2. - ассоциативность сложения векторов;

3. ;

4. .

2. Операция вычитания векторов.

О пределение. Разностью векторов и называется вектор , удовлетворяющий уравнению . Разность векторов обозначается так: .

Чтобы построить разность геометрически, необходимо отложить векторы и от общего начала, концы соединить отрезком и стрелку поставить в сторону уменьшаемого.

3. Умножение вектора на число.

Пусть - данный вектор; λ - скаляр.

Определение. Произведением числа λ на вектор называется вектор , определяемый условиями:

1. 

2. Если λ > 0, то , если λ < 0, то .

Алгебраические свойства умножения вектора на число:

1. - ассоциативность умножения вектора на число;

2. - дистрибутивность умножения вектора на число;

3. - дистрибутивность умножения числа на вектор;

4. 

Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов). Для того чтобы векторы плоскости и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы они были пропорциональны:

или .

4. Деление коллинеарных векторов.

Пусть имеются два коллинеарных ненулевых вектора и .

Определение. Частным от деления вектора на вектор называют число λ, для которого выполняется равенство .

Таким образом, .

Свойства деления:

1. Пусть , и - коллинеарные векторы, причем . Тогда .

2. ,если .

3. Неколлинеарные векторы делить нельзя.

3.3. Разложение вектора по ортам координатных осей

П

усть векторы i, j, k – орты координатных осей прямоугольной системы координат Оxyz, то любой вектор можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов

Действительно, по определению суммы двух векторов .

Так как , ,

, , , то . Обозначив , и ) получим _.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей, числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора .

Векторное равенство записывается в символическом виде .

З

ная проекции вектора легко найти длину или модуль вектора . На основании теоремы о длине прямоугольного параллелепипеда можно записать

.

Определение. Длиной вектора называется число, равное длине отрезка, которое определяется по формуле:

.

Вектор образует с координатными осями Ох, Оу, Oz углы α, β и γ соответственно. По свойству проекции вектора на ось

.

Таким образом, направление вектора определяется с помощью так называемых направляющих косинусов:

, , .

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением

.