Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный социально-экономический университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Математика Линейная алгебра

Учебное пособие для студентов

направления 080700.62 «Бизнес-информатика», спец-ти 080116.65 «Математические методы в экономике»

Саратов 2011

УДК 512

ББК 22.14

М34

Гусятников В.Н., Дьякова Т.В., Кузнецова О.С., Носова Е.Г.

Математика. Линейная алгебра: учеб. пособие для студентов направления 080700.62 «Бизнес-информатика», специальности 080116.65 «Математические методы в экономике» /Саратовский государственный социально-экономический университет. – Саратов, 2010. – 169 с.

В пособии «Математика. Линейная алгебра» рассмотрены теоретические аспекты и методы линейной алгебры, в соответствии с государственным образовательным стандартом по этой дисциплине для студентов экономических специальностей. Кроме этого, пособие включает раздел «Численные методы линейной алгебры», содержащий блок-схемы алгоритмов и фрагменты программного кода, позволяющие студентам самостоятельно разрабатывать программы для решения систем уравнений, исследовать сходимость и устойчивость численных методов, а также оценивать ошибки полученного решения.

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом СГСЭУ 14 сентября 2010 года

Рецензенты:

доктор экономических наук, профессор В.А. Балаш,

доктор экономических наук, профессор Л.В. Кальянов

УДК 512

ББК 22.14

© Саратовский государственный социально-экономический университет, 2011

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ 7

1. ЧИСЛОВЫЕ КОЛЬЦА И ПОЛЯ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 8

1.1. Основные понятия 8

1.2. Поле комплексных чисел 11

1.3. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел 12

1.4. Различные формы записи комплексного числа 15

1.5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме 16

1.6. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 18

1.7. Действия над комплексными числами в показательной форме 21

1.8. Упражнения 22

1.9. Контрольные задания 24

1.10. Типовой расчет 24

1.11. Вопросы для самопроверки 25

1.12. Вопросы для теоретического опроса 25

2. МНОГОЧЛЕНЫ 26

2.1. Действия над многочленами 26

2.2. Схема Горнера 30

2.3. Корни многочлена 31

2.3.1. Разложение многочлена степени n на множители 31

2.3.2. Вычисление корней многочленов второй и третьей степени 33

2.4. Упражнения 33

2.5. Контрольные задания 34

2.6. Вопросы для самопроверки 35

2.7. Вопросы для теоретического опроса 36

3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА 37

3.1. Понятие вектора 37

3.2. Операции над векторами 38

3.3. Разложение вектора по ортам координатных осей 39

3.4. Скалярное произведение векторов. 40

3.5. N-мерные векторы и действия над ними 41

3.6. Операции над векторами 42

3.7. Линейная зависимость векторов. 43

3.8. Базис и ранг системы векторов 47

3.9. Переход от одного базиса к другому. Метод замещения 49

3.10. Линейные пространства 53

3.11. Евклидовы и унитарные пространства 55

3.12. Норма вектора 56

3.13. Нормирование ненулевого вектора 57

3.14. Ортонормированные системы векторов 57

3.15. Упражнения 59

3.16. Контрольные задания 60

3.17. Типовой расчет 63

3.18. Вопросы для самопроверки 63

3.19. Вопросы для теоретического опроса 64

4. МАТРИЦЫ 65

4.1. Основные понятия 65

4.2 Операции над матрицами 67

4.3. Применение элементов линейной алгебры в экономике. 72

4.4. Упражнения 73

4.5. Контрольные задания 76

4.6. Типовой расчет 78

4.7. Вопросы для самопроверки 79

4.8. Вопросы для теоретического опроса 79

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ 80

5.1. Перестановки 80

5.2. Определители (детерминанты) квадратных матриц 81

5.3. Свойства определителей 82

5.4. Теорема Лапласа (вычисление определителя n-ого порядка). 85

5.5. Основные методы вычисления определителя n–го порядка 89