Электростатическое поле.

Уравнения Максвелла описывают полю для любого случая, а электростатическое поле – это поле неподвижных зарядов, так как и, следовательно, , тогда уравнения Максвелла будут выглядеть следующим образом.

В этом случае эти уравнения друг от друга не зависят.

Если имеется некоторое поле, в котором , то это поле называется потенциальным, так как работа не зависит от пути, то есть .

Из условия , следует, что , или .

Пусть , тогда , откуда: , или:

или - это уравнение Пуассона (для потенциала).

Если , то - это уравнение Лапласа.

В декартовой системе координат:

Пусть . Следовательно, нельзя выносить из под знака дивергенции. Тогда:

В уравнении появилось дополнительное слагаемое

Это уравнение можно переписать в виде:

, или:

Рассмотрим заряды поляризации:

- первое слагаемое характеризует свободные заряды, а второе связанные заряды.

Выражение для связанных зарядов, то есть если есть свободные заряды, то есть и связанные.

Рассмотрим следующие случаи:

когда: 1) ;

Если , то 2) ;

3) ;

В той области, где при отсутствии свободных зарядов нет, нет и связанных;

Если , то связанных зарядов нет.

Запишем закон Кулона:

Как его вывести?

Рассмотрим поле точечного заряда q

Так как , то перейдя к интегральной форме получим:

или

В силу закона симметрии:

Откуда: - получили закон Кулона для точечного заряда.

Если у нас есть объемная плотность заряда и точка, в которой надо найти , то для этого необходимо разбить объем на элементарные объемы и определить от элементарного заряда, а затем просуммировать их.

- по принципу суперпозиции, но в этом смысле неудобно брать интеграл, так как он получается тройной и удобнее использовать потенциальную формулу:

- распределение по объему, так как потенциал точечного заряда равен

и еще оперировать скалярной функцией гораздо проще.

Если - поверхностная плотность заряда, тогда: - элементарный заряд и распределение потенциала по поверхности можно записать в виде:

и поверхностный и объемный интеграл дают непрерывное значение заряда.

Пусть - линейная плотность зарядов, тогда: и

- распределение по линии.

Для точечных зарядов:

Мы установили, что можно найти потенциал электрического поля по формуле:

Это выражение изменяется в зависимости от того, какое распределение заряда ( ).

Если - известно, то

Рассмотрим семейство силовых линий.

Пусть задано распределение (функция) потенциала

- семейство эквипотенциальных поверхностей

Пусть задано поле , если имеется эквипотенциальная поверхность, то - уравнение, которое можно записать в виде:

Если заданы силовые линии , то уравнение силовых линий можно записать в виде: или: - уравнение силовых линий.