Законы Максвелла в дифференциальной форме.

1. Закон сохранения зарядов:

, где - объемная плотность зарядов. Устремим объем V к нулю, т.е. будем стягивать поверхность S в точку

настолько, чтобы - было равномерно, следовательно, вектор может начинаться и заканчиваться там, где есть изменяющийся во времени заряд.

Закон сохранения зарядов

Если , то

Следовательно, линии постоянного тока – непрерывны, а переменного кончаются и начинаются там, где есть изменяющийся во времени заряд.

2. Первое уравнение Максвелла.

Давайте посмотрим, что творится вокруг какой-нибудь точки.

Проекция ротора на направление “n”, равно проекции плотности тока на это направление. Так как направление выбрано произвольно, то:

- закон полного тока в дифференциальной форме.

Возьмем дивергенцию от правой и левой части:

, или

, но

Следовательно, если поле переменное, то это уравнение не верно и закон полного тока справедлив только для постоянного тока.

Надо учесть плотность тока смещения:

, или

, но - плотность полного тока. Тогда:

- первое уравнение Максвелла.

Магнитное поле создается изменяющимся электрическим полем и движением зарядов.

Даже если нет никаких токов, а есть изменяющееся электрическое поле во времени, то есть и магнитное поле.

- плотность тока смещения. С первым слагаемым перемещение зарядов не связано.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла и сделаем обратный переход:

Согласно теореме Стокса, получим:

Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения, это закон полного тока в переменном поле.

3. Второе уравнение Максвелла.

Известно, что:

,

Как перейти к дифференциальной форме этого же закона?

По теореме Стокса:

- поверхность одна и та же.

Если интегралы равны по любой поверхности, то под интегральные выражения равны:

- закон электромагнитной индукции (2-е уравнение Максвелла).

Электрическое поле возбуждается не только зарядами, но и изменяющимся магнитным полем -2-е уравнение Максвелла.

Вектор включает индуктированное магнитным полем электрическое поле, в него можно включить еще и поле созданное неподвижными зарядами, так как ротор от неподвижных зарядов будет равен нулю.

Следовательно:

Следовательно, напряжение между двумя точками зависит от пути:

Пупуть 1-3-2 1-4-2 так как

первый вольтметр, второй вольтметр

При высоких частотах - огромная величина.

- отсутствие магнитных зарядов или замкнутые линии магнитного поля.

Стянем поверхность в точку. по определению. Физический смысл тот же самый.

4. Теорема Гаусса.

по теореме Остроградского – Гаусса:

- объемы одни и те же, следовательно, под интегральные выражения равны:

- объемная плотность только свободных зарядов.

Запишем уравнения Максвелла:

1.

2.

3.

4.

Эти четыре уравнения зависимы друг от друга. Первое и второе уравнения более весомы, а третье и четвертое уравнения можно получить из первых двух.