5.21. Дискретные сигналы

"Дискретный сигнал — это сигнал, изменяющийся дискретно во времени или по уровню. В первом случае он может принимать в дискретные моменты времени nТ, где Т = const — интервал (период) дискретизации, n = 0; 1; 2;...— целое, любые значения Yд(nT) Î (Yniin; Ymax), называемые выборками, или отсчетами. Такие сигналы (рис. 10.2,6) описываются решетчатыми функциями. Во втором случае значения сигнала Ya(t) существуют в любой момент времени t Î (tmin; tmax), однако они могут принимать ограниченный ряд значений hi = nq, кратных кванту q.

Цифровые сигналы — квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы Yu(nT), которые описываются квантованными решетчатыми функциями (квантованными'Ъоследовательностя-ми), принимающими в дискретные моменты времени пТ лишь конечный ряд дискретных значений — уровней квантования h1, h2, .... hn (рис. 10.2,в)."

Таким образом:цифровой сигнал ("0","1") - подвид дискретного 

Сигналы могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в заданном интервале амплитуд, и дискретными, принимающими только определённые, заранее заданные значения. Производя остальные отсчёты  непрерывного сигнала, его можно преобразовать в дискретный.

В процессе преобразования непрерывного сигнала  в дискретный должно выполняться требование теоремы В.А.Котельникова, которая гласит: непрерывный сигнал   полностью определяется последовательностью отсчётов его мгновенных значений через интервалы времени  , где   - максимальная частота спектральных составляющих сигнала.

 

В соответствии с теоремой Кательникова сигнал   может быть точно восстановлен путём суммирования отдельных отсчётов сигнала по формуле, называемой рядом Котельникова:

                          (2.63)

где  - отсчёты сигнала в момент времени   , а второе слагаемое – функция вида  .

В действительности отсчёты мгновенных значений сигнала могут быть сделаны лишь в конечном интервале наблюдения от   до   (n и m – целые числа).Поэтому реально сигнал может быть восстановлен с некоторой погрешностью по формуле

.                                  (2.64)

Полученные в результате дискретизации мгновенные значения сигнала могут быть равны любой величине в диапазоне от   до   и представляют непрерывное множество значений. Переход от этого непрерывного множества к конечному набору дискретных значений называютквантованием. При квантовании в диапазоне   фиксируется ряд дискретных уровней  . Часто используются устройства квантования с одинаковыми расстояниями между соседними уровнями 

5.22 Спектр дискретного сигнала

Рассмотрим дискретный сигнал, представленный упорядоченным набором чисел {x(k)}, где k – целое число в диапазоне 0–N–1. Пусть Tд – период дискретизации, ωд=2π/Tд – круговая частота дискретизации. Для представления дискретного сигнала в аналитическом виде обычно используют формулу

, (1)

где δ(t) – дельта-функция.

 

Рассчитаем спектр сигнала s(t)

 (2)

 Так как преобразование Фурье является линейным оператором и x(k) является константой (что означает, что x(k) можно вынести за знак интеграла) получаем

 (3)

Функция спектральной плотности дельта-функции равна единице на всей области частот. Так как дельта-функция задержана на kTд ее спектр получает дополнительный множитель exp(–jkTдω) и выражение (3) можно преобразовать следующим образом

 (4)

Формула (4) показывает, что спектр дискретного сигнала является периодической функцией с круговой частотой равной периоду дискретизации Tд или периодом 2π/Tд, т.е.   S(ω) = S(ω ± nωд), где n – целое число. Формула (4) позволяет вычислить функцию спектральной плотности по известным отсчетам сигнала.

Сейчас мы вывели очень важное соотношение цифровой обработки сигналов. Стоит запомнить, что спектр периодического сигнала является дискретным (или решетчатым), а спектр дискретного(решетчатого) сигнала является периодическим.

Теперь выполним несколько иную задачу. Пусть цифровой сигнал x(k) является результатом дискретизации аналогового сигнала s(t), тогда выполняется соотношение

x(k) = s(kTд)

Тогда дискретный сигнал можно представить в аналитическом виде следующим образом

 (5)

Выведем соотношение связывающее спектры аналогового сигнала S(ω) и результата его дискретизации  Sд(ω)

Заметим, что функция   является периодическим сигналом (повторяющимися  с периодом Tд  дельта-функциями). Так как в интервал (–Tд/2, Tд/2) попадает только одна дельта-функция, функцию f(t) можно разложить в ряд Фурье следующим образом. Вычислим коэффициенты комплексного ряда Фурье

 (6)

Таким образом функция f(t)  может быть представлена рядом Фурье

 (7)

Подставим (7) в (5) и получим

 (8)

Умножение функции на exp(jωдnt) соответствует сдвигу функции спектральной плотности на ωдn. Тогда спектр аналогового сигнала связан со спектром дискретизированного представления выражением

 (9)

По формуле (9) видно, что спектр дискретного сигнала представляет собой сумму сдвинутых копий аналогового сигнала. Расстояние между соседними копиями равно частоте дискретизации ωд = 2π/Tд. Данное обстоятельство продемонстрировано на рисунке 1, на котором представлен спектр дискретного сигнала.

Рисунок 1 – Спектр дискретного сигнала

Аналоговый сигнал может быть восстановлен по дискретному представлению путем низкочастотной фильтрации с частотой среза ωд/2. Частота ωд/2 называется частотой Найквиста, о которой мы говорили при рассмотрении теоремы отсчетов. Очевидно, что аналоговый сигнал может быть корректно восстановлен только в том случае, если он не содержит частот выше частоты Найквиста (то есть половины частоты дискретизации). В противном случае копии спектров будут перекрываться и мы получим алиазинговый или стробоскопический эффект (то есть возникновение ложных частот). Продемонстрируем возникновение данного эффекта на примере оцифровки гармонического сигнала с частотой ωs, находящейся на интервале (ωд/2, ωд). Спектр аналогового гармонического сигнала был рассмотрен нами в предыдущих статьях и представляет собой пару дельта функций (рисунок 2)

Рисунок 2 – Спектр аналогового гармонического сигнала

Спектр дискретизированного сигнала представляет собой сдвинутые на ωд копии спектра аналогового сигнала (рисунок 3)

Рисунок 3 – Спектр дискретного гармонического сигнала

После пропускания цифрового сигнала через ФНЧ  с частотой среза ωд/2, получим аналоговый сигнал со спектром представленном на рисунке 4.

Рисунок 4 – Ложные частоты в спектре восстановленного аналогового сигнала

Как мы видим, мы получили результат отличный от спектра исходного сигнала. При этом мы имеем две ложные гармоники с частотами ±(ωд – ωs).

В случае произвольного сигнала имеющего частотные составляющие выше частоты Найквиста копии спектров будут перекрываться, следствием чего будет появление ложных частот наглядно продемонстрированное нами выше. Поэтому перед оцифровкой аналоговый сигнал пропускают через ФНЧ с частотой среза равной частоте Найквиста. Стоит отметить, что перед построением цифровой системы проводят тщательный анализ частотных свойств сигнала, так как если неправильно выбрать частоту дискретизации (слишком занизить), то можно потерять часть полезного высокочастотного сигнала. При этом сигнал будет потерян в случае использования ФНЧ перед аналогово-цифровым преобразованием или искажен (перенесен в низкочастотную область) при возникновении алиазингового эффекта. Поэтому частоту дискретизации ωд необходимо выбрать такой, чтобы аналоговый сигнал, оцифровываемый проектируемой системой, не нес полезной информации на частотах выше частоты Найквиста ωд/2. Стоит отметить, что существуют исключения из правил и некоторые системы специально строятся с возможностью обработки сигналов с эффектом алиазинга. Как правило, такие системы предназначены для обработки периодических (гармонических) сигналов.

Выше мы рассмотрели случай, когда в качестве дискретизирующих импульсов выступает дельта функция. На практике обычно цифровой сигнал на выходе цифро-аналогового преобразователя представляет собой набор, сменяющихся в дискретные моменты времени, прямоугольных импульсов с разными амплитудами (рисунок 5).

Рисунок 5 – Дискретизация прямоугольными импульсами

Запишем формулу (5) в общем виде, заменив дельта-функцию на функцию d(t), представляющую собой импульсы произвольной формы

 (10)

Выражение (10) можно представить как прохождение сигнала (5) через линейную  систему с импульсной характеристикой d(t). Поэтому спектр сигнала (10) будет связан со спектром сигнала (5) следующим образом

Gд(ω) = D(ω)Sд(ω) (11)

Тогда по (11) и (9) имеем

 (12)

Таким образом, отличие дискретизирующих импульсов от дельта-функции искажают спектр дискретного сигнала. Функция спектральной плотности импульса с конечной энергией убывает с ростом частоты, поэтому сдвинутые копии спектра сигнала оказываются ослабленными.

Спектр дискретизирующего прямоугольного импульса с единичной амплитудой и длительностью равной периоду дискретизации TД, как мы рассмотрели ранее представляет собой функцию вида sin(x)/x

 (13)

Поэтому результирующий спектр цифрового сигнала дискретизированного прямоугольным импульсом оказывается взвешенным с функцией вида sin(x)/x

 (14)

5.23. Z-преобразование и его свойства

Как уже отмечалось, цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный математический аппарат, построенный на базе преобразования Лапласа. Но применение этого преобразования к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. Z-преобразование является, в некотором смысле, аналогом преобразования Лапласа для последовательностей.

Z-преобразование над последовательностью   задается следующей формулой:  (3.2.1) Поясним некоторые моменты. Что такое  ?  - это обычная комплексная переменная. Предположим, что у нас имеется последовательность, состоящая всего из четырех членов:  (3.2.2) тогда Z-преобразование этой последовательности согласно формуле (3.2.1) будет таким:  (3.2.3)

Другими словами при помощи Z-преобразования мы получили из дискретной последовательности   непрерывную функцию  . При этом необходимо заметить, что   это не просто функция, а функция комплексного переменного. То есть,   определена на комплексной плоскости  , и значения   - тоже комплексные величины. Данное преобразование называется прямым. Существует и обратное Z-преобразование, когда из функции комплексного переменного   может быть получена исходная последовательность  , но такое преобразование используется редко, и здесь его рассматривать мы не будем.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования. 

Свойство 1: линейность. 

Это свойство можно описать так: если последовательности   соответствует Z-преобразование  , а последовательности   соответствует Z-преобразование  ,   (3.2.4) то суперпозиции этих последовательностей соответствует суперпозиция их Z-преобразований:  (3.2.5)  и   здесь - обычные коэффициенты.

Докажем свойство линейности Z-преобразования. Для этого найдем Z-преобразование последовательности  . Согласно формуле (3.2.1) оно может быть получено так:  (3.2.6)

Что и требовалось доказать.

Свойство 2: Z-преобразование задержанной последовательности.

Если последовательности   соответствует Z-преобразование  , (3.2.7) то такой же последовательности, но задержанной на   отсчетов соответствует Z-преобразование  .   (3.2.8)

То есть задержка последовательности приводит к домножению ее Z-преобразования на  . Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулой (3.2.1) Z-преобразование последовательности  :  (3.2.9) Сделаем замену:  ,  . Следовательно, если  , то  , и если  , то  .

Получаем: . (3.2.10)

Что и требовалось доказать.

Свойство 3: Z-преобразование свертки последовательностей.

Если последовательности   соответствует Z-преобразование  , а последовательности   соответствует Z-преобразование     , (3.2.11) то дискретной свертке последовательностей   и   соответствует произведение их Z-преобразований: . (3.2.12)

Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулами (3.2.1) и (2.3.1) Z-преобразование свертки последовательностей   и  :  (3.2.13)

Меняем порядок суммирования и получаем:  (3.2.14) Но   это есть Z-преобразование от задержанной последовательности   и согласно свойству 2 равно  . Следовательно:  (3.2.15)

Что и следовало доказать.