Математическое отображение реальности

По поводу соотношения математики и законов природы Лем повторяет старую метафору, что математика – безумный портной, шьющий всевозможные костюмы, лишь некоторые из коих оказываются впору хоть какому-то существу. При этом он опирается на очевидный факт, что подавляющее большинство областей математики на сегодняшний день не нашло приложений в естественных науках. На старый философский вопрос, является ли каждая математическая теорема отображением какого-либо закона природы или нет, Лем неявно отвечает «нет» – во всяком случае, насколько можно судить по его утверждению, что математические структуры станут прообразом новых, создаваемых человеком законов природы. Заметим, что это утверждение в последующем тексте не раскрывается, и что Лем подразумевает под созданием закона природы, остается неясным – Авт. Свою позицию он при этом не аргументирует, если не считать аргументом вышеупомянутый факт о неприложимости на сегодняшний день к естественным наукам подавляющего большинства областей математики. Что не является достаточным аргументом, ибо «пока не нашло приложений» не означает «никогда не найдет, ибо не может найти в принципе» – Авт.

Далее Лем рассматривает вопрос о двух принципиально разных видах математических моделей. Применение математических методов в физике, очевидно, происходит так: сначала каждому элементу физического мира ставится во (взаимно однозначное) соответствие математический объект (так, в классической физике постоянной физической величине ставится в соответствие число, переменной – функция), затем производятся математические действия, и их конечный результат переводится обратно на язык физики.

Лем указывает, что при этом возможны две принципиально разные ситуации. Первая – когда каждый промежуточный математический объект, получившийся в результате вычислений, также имеет физический эквивалент (например, эквивалентом производной является скорость). И вторая – когда физическую интерпретацию имеет только конечный ответ. В первом случае можно говорить об изоморфности физической и математической картины явления, о математическом описании его природы. Во втором – только о модели для предсказаний, работающей неизвестно почему. Примеры первого рода нам дает классическая физика, примеры второго рода – квантовая механика, с ее по сей день многими вариантами интерпретации (а уж процедура перенормировки и вовсе, кажется, не имеет никакой интерпретации – Авт.). Возможно ли для каждого природного явления создать математическую модель, а тем более – изоморфную ему математическую модель – вопрос, на который, собственно говоря, нет ответа.

Ограничения материального и превосходство информационного

Моделирования

Лем указывает, что, зачастую, пытаясь увеличить сходство материальной модели с оригиналом, мы невольно добавляем в модель дополнительные параметры – за счет того, что моделируемые свойства в модели достигаются вовсе не тем способом, что в оригинале. Например, моделируя нейроны с помощью электронных элементов, мы получим модель, не обладающую памятью (ибо механизмы памяти в мозге биохимические). Чтобы добавить обладание памятью, нужно дополнительно подключить запоминающее устройство – например, ферромагнитный жесткий диск. Но тем самым мы добавили в модель параметр «отдельное запоминающее устройство». Поэтому материальная модель, воспроизводящая все свойства оригинала, должна либо воспроизводить их теми же механизмами – и тогда является точной копией оригинала, либо быть сложнее оригинала за счет добавленных устройств, реализующих механизмы имитации. Но прок от модели есть лишь тогда, когда она существенно проще оригинала. Это накладывает принципиальное ограничение на число свойств, которые могут быть одновременно промоделированы материальной моделью.

Информационная же модель – во всяком случае, хорошая – таким пороком не обладает. Хорошей информационной моделью является, например, успешная научная теория – в которую не нужно добавлять новых фактов ad hoc, более того, из которой выводятся факты, изначально в нее не заложенные.

Кстати говоря, Лем отмечает, что современная теория информации не способна указать, сколько информации содержится в физической теории или формуле (ибо здесь речь идет о значении информации, которое остается философским камнем для исследователей – Авт.).