2.2. Необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума Теорема 1 Необходимое условие наличия локального экстремума

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция в точке . Если - точка локального минимума (максимума) функции , то

(7)

Точка , удовлетворяющая условию (7), называется стационарной точкой функции или задачи (1).

Для выявления искомой точки на множестве стационарных используется условие локальной оптимальности второго порядка

Теорема 2

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если - точка локального минимума функции , то матрица Гессе неотрицательно определена, т.е.

, (8)

где

Теорема 3 Достаточное условие локальной оптимальности

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если удовлетворяет условию (2), а матрица Гессе положительно определена, т.е.

, (9)

то - точка строгого локального минимума функции

2.3. Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра

Для установления знакоопределенности квадратной матрицы предлагается следующая схема:

1. Если знаки всех угловых миноров матрицы положительны, то она является положительно определенной ;

2. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то матрица отрицательно определена

;

2.4. Одномерная минимизация

Для функции одной переменной необходимые условия локальной оптимальности определяется следующими соотношениями:

(1)

Достаточное условие

Модель спроса на наличные деньги

Согласно этой модели определяются размеры необходимой суммы наличных денег. Предполагается, что годовая потребность (годовой спрос) в наличных деньгах субъекта, которые находятся на банковском счете под процент , известна - . При необходимости субъект посещает банк и снимает со счета определенную сумму денег - , которую он использует для покрытия своих расходов. Его запас наличности становится , а затем начинает уменьшаться с интенсивностью . Когда денежный запас исчерпан , следует новое обращение в банк и т.д. Графически эту процедуру можно представить следующим образом

Рис.1

Средний уровень денег на руках

- комиссионные расходы, связанные с однократным заказом денег в банке

- число посещений банка в год

Годовые затраты на банковские операции

Альтернативные потери от хранения денег «на руках»

(недополучение банковского процента)

Издержки хранения

денежных средств на руках

Рис.2

- формула Баумоля – Тобина

Принятие решений в задаче управления запасами

Введение

В зависимости от ситуации под запасами могут подразумеваться: готовая продукция, сырье, полуфабрикаты, станки, инструмент, транспортные средства, наличные деньги и др.

При управлении запасами принимаются решения:

• когда закупать необходимые ресурсы (пополнять запас);

• какое количество продукции заказывать? (каков должен быть размер заказываемой партии).

Затраты при организации запасов товаров:

• затраты, связанные с выполнением заказа – расходы по оформлению заказа, транспортные расходы, затраты на обработку заказов и ведение учета поставок и др.;

• затраты, связанные с хранением товаров;

• потери от дефицита;

• затраты на приобретение товаров

Суммарные затраты =

Факторы, учитываемые при построении модели: спрос на данный товар; запаздывание поставки заказа или срок выполнения заказа; как происходит пополнение запаса; горизонт планирования; номенклатура запасаемых товаров.

Основная модель управления запасами

Наиболее простой является так называемая основная модель управления запасами (модель Уилсона, система с фиксированным размером заказа)

Допущения модели Уилсона

Годовой спрос является априорно известной и постоянной величиной, ;

интенсивность спроса ;

время поставки заказа является известной и постоянной величиной ;

каждый заказ поставляется в виде одной партии;

затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;

Отсутствие запаса является недопустимым (дефицит отсутствует).

- размер заказываемой партии продукции

Средний уровень запасов

- затраты на выполнение заказа

- число заказов в год

Годовые затраты на выполнение заказов

Затраты, связанные с хранением продукции

- ставка процента,

- цена единицы товара

- формула Уилсона

Если , - точка заказа;

Если , - точка заказа;