Математический анализ
1.Пределы
Рассмотрим бесконечную
числовую последовательность (a1,
a2, … , an,
…). Сокращенно ее можно обозначить
или просто (an).
Попытаемся сформулировать определение
предела последовательности. В качестве
примера рассмотрим три последовательности:
1, 2, 3, … , n, … (1)
1,
,
,
… ,
,
… (2)
1, –1, 1, –1, … , (–1)n+1, … (3)
На интуитивном уровне понятно, что первая последовательность не имеет предела, вторая имеет пределом число 0. Последнее проявляется в том, что члены последовательности (2) с увеличением номера n все ближе подбираются к 0. Но к числу –1 они тоже становятся все ближе. Принципиальная разница в том, что к 0 они могут подойти как угодно близко, а расстояние до –1 не может стать меньше 1. Оборот «как угодно близко» означает, например, что расстояние от an до 0 можно сделать меньше 0,1, если взять n > 10, или меньше 0,001, если взять n > 1000; и вообще, какое бы малое положительное число ни взять, найдется такой номер N, после которого все члены последовательности будут отстоять от 0 ближе, чем на .
Мы подошли к точному определению предела последовательности.
Число а называется пределом последовательности (an) (записывается
=
а, читается «предел an
при n, стремящемся
к бесконечности, равен а»), если для
любого положительного числа
найдется такое число N,
зависящее от , что
an
– а <
при всех n > N.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся.
В соответствии с определением предела заключаем, что последовательности (2) и (3) предела не имеют. Но их поведение различное. Члены последовательности (2) неограниченно возрастают, и в этом случае можно сказать, что = . Члены последовательности (3) концентрируются около двух точек 1 и –1. Эти точки называются предельными точками последовательности.
Условие = а можно сформулировать равносильным образом: an → а при n → .
При вычислении пределов используются их основные свойства:
;
;
;
.
При этом должны существовать все пределы в правых частях этих равенств.
Для вычисления предела
последовательности определяющими
являются понятия бесконечно малой
и бесконечно большой величин: это
соответственно последовательности,
стремящиеся к 0 и к бесконечности.
Соотношение между ними такое: если an
→ 0, то
→
, и an
→ , то
→
0. При этом в числителе может стоять
любое число, не равное 0. Условно эти
соотношения записывают в виде
,
.
С их помощью можно найти простые пределы,
например,
.
Более сложные случаи –
неопределенности вида
.
При вычислении соответствующих пределов
от таких неопределенностей следует
избавляться, как показано в следующих
примерах.
Пример 1.1.1. Вычислить
пределы: а)
;
б)
.
Решение.
а)
=
=
=
=
=
;
б)
=
=
=
.
При вычислении этих пределов мы пользовались свойствами, сформулированными выше. Во втором примере опущены подробности.
Рассмотрим теперь понятие
предела функции. На рис.1 показаны
различные случаи расположения графика
функции y = f(x).
Нас интересует поведение функции y,
когда переменная х стремится к а.
На рисунках а) и б) видно, что при
этом значения y
стремятся к b, причем
на рисунке а) это и есть f(а),
а на рисунке с) значение f(а)
= с отличается от b.
Но в обоих этих случаях мы говорим, что
=
b. Понятно, что на
рисунках в) и г)
не существует.
В
чем же проявляется тот факт, что
=
b на рис. а) и b)?
В том, что значения f(x)
можно сделать как угодно близкими к b,
если значения х сделать достаточно
близкими к а. Точный смысл оборота
«как угодно близкими» в том, что какое
бы малое значение
ни задать, значение f(x)
– b
можно сделать меньше ,
выбрав подходящим образом область
значений для х. Условие f(x)
– b<
равносильно двойному
неравенству b –
< f(x)
< b + ,
то есть f(x)
принадлежит интервалу (b
– , b
+ ). Такой интервал
называется -окрестностью
точки b: эта точка
является центром интервала,
задает его ширину. Выбранная область
значений для х также должна
представлять собой некую -окрестность
точки а, то есть для ее задания нужно
подобрать подходящее значение .
Связь между и
проиллюстрирована на рис.2. -окрестность
точки b выделена на
оси ординат скобкой, определенная для
нее -окрестность
точки а выделена на оси ординат
жирной линией. Значения аргумента х
из -окрестности
точки а расположены между двумя
крайними штриховыми линиями на оси
абсцисс, соответствующие значения
функции расположены между двумя крайними
штриховыми линиями на оси ординат, –
все они попали в -окрестность
точки b. При этом
значение можно
было выбрать меньше или даже чуть больше
представленного, это не принципиально;
важно, что такое значение существует.
Мы подошли к точному определению предела функции.
Число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого положительного числа найдется такое число , зависящее от , что f(x) – b< при x – а< .
На рис. 1с) предел в точке а не существует: если взять < c – b, то в -окрестность точки b не попадут значения f(x), когда х > a: значения f(x) будут больше с и вылезут за пределы -окрестность точки b. Значит, подходящую -окрестность точки а подобрать невозможно, и b не может быть пределом функции. Аналогично с не может быть пределом функции. В этом случае можно говорить об односторонних пределах функции f(x) в точке а: левый предел равен b, правый – с.
Рассматривается
также предел
,
а также отдельно
и
(точные определения опускаем).
При вычислении пределов функции используются такие же свойства, как для пределов последовательности.
Самый простой случай вычисления предела функции имеет место, если допускается непосредственная подстановка.
Пример 1.1.2.
=
=
.
Если же в
результате подстановки получается
неопределенность вида
,
или
,
или другая, то применяются специальные
приемы для снятия этих неопределенностей.
С неопределенностью вида
поступаем обычно как при вычислении
пределов последовательностей. Рассмотрим
приемы снятия неопределенности вида
.
Пример 1.1.3.
Вычислить
.
Решение. При непосредственной подстановке получаем неопределенность вида . В числителе и знаменателе дроби стоят многочлены. Число 2 является корнем каждого из них. Это значит, что каждый многочлен разлагается в произведение двух множителей, один из которых равен (х – 2). Имеем
=
=
=
= –1.
Здесь мы произвели сокращение на (х – 2). Это не есть сокращение на 0, так как это выражение равно 0 только при х = 2, а мы анализируем значения функции вблизи точки 2, в самой этой точке значение не рассматривается.
Пример 1.1.3.
Вычислить
.
Решение. При непосредственной подстановке получаем неопределенность вида . В знаменателе дроби многочлен, у него выделяется множитель (х – 1). Чтобы поступить подходящим образом с числителем, преобразуем его в многочлен, домножив на сопряженное выражение:
=
=
= =
=
=
=
.
При снятии неопределенности вида , когда присутствуют тригонометрические выражения, может использоваться первый замечательный предел:
=
1.
Пример 1.1.4.
=
=
=
.
При снятии неопределенности
вида
обычно используется второй замечательный
предел:
= e,
или
=
e.
Пример 1.1.5.
=
=
=
е-10.
Здесь приведены самые элементарные приемы вычисления пределов. Другие способы используют, например, понятие эквивалентного выражения, правило Лопиталя.
С понятием предела тесно связано понятие непрерывности.
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если = f(а). Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Точка, в которой функция не является непрерывной, есть точка разрыва функции при условии, что функция определена в некоторых промежутках, примыкающих к этой точке слева и справа. В самой точке разрыва функция может быть и не определена. На рис.1 б), в) и г) точка а является точкой разрыва. При этом на рис.1 б) существует , но он не равен f(а). На рис.1 в) существуют левый и правый пределы, не равные друг другу. На рис.1 г) не существует. Это различные виды разрывов, но бывают и более сложные разрывы.
Функция называется кусочно непрерывной, если ее область определения разбивается на несколько (конечное число) промежутков, в каждом из которых функция непрерывна. Такой же смысл имеют другие кусочные свойства, которые будут использоваться ниже.
У п р а ж н е н и я
1.1.1. Вычислить пределы:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.