§ 2. Уравнение теплопроводности

Рассмотрим тело, температура которого в точке в момент времениопределяется функцией. Если разные участки тела имеют различную температуру, то в теле происходит движение тепла от более нагретых участков к менее нагретым. В физике принимается, что количество тепла, проходящего за времячерез какую-либо малую поверхностьФ, лежащую внутри тела и имеющую площадь , равно

,

где - коэффициент внутренней теплопроводности,- нормаль к поверхностиФ, направленная в сторону движения тепла.

Для вывода уравнения теплопроводности выделим внутри тела объем , ограниченный гладкой поверхностьюФ, и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежуток времени. Применив формулу Грина (6) § 4 гл.I, получим

.

Количество тепла, необходимое для изменения температуры в объеме на, равно

,

где - теплоемкость вещества,- его плотность.

Предположим, что внутри рассматриваемого объема имеются источники или стоки тепла. Обозначим черезих плотность, т.е. количество выделяемого или поглощаемого ими тепла в единицу времени в единице объема. Тогда количество тепла, выделяемого или поглощаемого в объемеза промежуток времени, равно

.

Составив уравнение баланса тепла для выделенного объема, получим

. (1)

Так как промежуток времени и выделенный объемпроизвольны, то для выполнения (1) в любой точкерассматриваемого тела и в любой момент временидолжно выполняться равенство

, (2)

которое называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела.

Если тело однородное, то ипостоянные, и уравнение (2) можно записать в виде

,

где . Кроме того, если в рассматриваемом теле нет ни источников, ни стоков тепла, то, и получаемоднородное уравнение теплопроводности

. (3)

В частном случае, когда рассматриваемое тело – тонкая однородная пластина, температура зависит только от координат и времени. Поэтому уравнение (3) переходит в уравнение

.

Если рассматривается тонкий однородный стержень, то температура зависит только от координаты и времении уравнение (3) превращается в уравнение

.

Заметим, что при этом предполагается, что теплообмен между поверхностью пластины и стержня и окружающей средой отсутствует и излучение или поглощение тепла происходит только на краях пластины и на концах стержня.

Для того чтобы найти температуру в любой точке тела в любой момент времени, кроме уравнения (2) необходимо знать распределение температуры внутри тела в начальный момент (начальные условия)

и температурный режим на границе Ф тела (граничные условия), причем граничные условия можно задавать различными способами.

Основные способы задания граничных условий.

1. В каждой точке поверхностиФ тела поддерживается заданная температура . Тогда граничные условия примут вид

.

2. На поверхности Ф тела задается тепловой поток . Тогда граничные условия запишутся так:

.

3. На поверхности Ф тела происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей известную постоянную температуру . Задавая различные способы теплообмена, получим различные граничные условия. Например, если считать, что количество тепла, излучаемого с единицы площади поверхности тела, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды (закон Ньютона), то граничное условие принимает вид

,

где - коэффициент пропорциональности.

Задача. Задать граничные условия вида 1-3 для тонкой пластины и тонкого стержня, если тепловое воздействие и теплообмен возможны только на краях пластины и на концах стержня.