§ 3. Примеры и задачи

Пример 1. Вычислить интеграл по внешней стороне верхней полусферы.

Решение. Проекцией полусферы на плоскость является круг. Верхняя полусфера задается уравнением. Поэтому по формуле (4) § 2. Переходя к полярным координатам, получим

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл по кривой.

Решение. По формуле Стокса (10) § 2

Здесь в качестве поверхности Ф взята часть плоскости , ограниченная заданной кривой. Поэтому вектор нормалипостоянный и равен.

Пример 3. Вычислить интеграл по внешней стороне сферы.

Решение. Вычислим интеграл . Ясно, что, где- верхняя полусфера, задаваемая функцией. Если- проекция верхней полусферы на плоскость, топо формуле (4) § 2. Переходя к полярным координатам, получим. Учитывая, что, окончательно получим.

Задача 1. Вычислить поток векторного поля через поверхность, образованную плоскостямиии цилиндром, двумя способами: по определению и с помощью формулы Остроградского – Гаусса.

Задача 2. Выяснить, является ли поле соленоидальным. Привести два способа решения: по определению и с использованием формулы (9) § 2.

Задача 3. Применив формулу Стокса, вычислить интегралы:

1) , где - эллипс.

2) , где- кривая,.

Задача 4. Применив формулу Остроградского, вычислить интегралы:

1) , гдеФ – внешняя сторона поверхности куба .

2) , гдеФ – внешняя сторона сферы .

§ 4. Гармонические функции

В математической физике важную роль играют гармонические функции.

Определение 1. Вещественная функция отвещественных переменных, определенная в некоторой конечной (ограниченной) области, непрерывная ввместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющая уравнению Лапласа

,

называется гармонической функцией.

Это определение распространяется и на функции комплексного переменного . Функциюназываютгармонической, если и- гармонические функции.

Легко доказать ([14], § 2), что для дифференцируемости функции в точкенеобходимо и достаточно, чтобы в точкефункцииибыли дифференцируемыми и выполнялись условия Коши – Римана

. (1)

Если, кроме того, идважды дифференцируемы, то из (1) следует, что

, т. е. функции игармонические. Поскольку они связаны друг с другом уравнениями (1), то их называют сопряженными гармоническими функциями.

Если одна из сопряженных гармонических функций известна, то уравнения Коши – Римана позволяют восстановить вторую функцию с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Действительно, пусть известна гармоническая функция . Тогда

Очевидно, что вещественная и мнимая части аналитической в некоторой области функции являются сопряженными гармоническими функциями в той же области. Эта связь аналитических и гармонических функций часто используется при исследовании свойств гармонических функций и решении уравнения Лапласа.

Пример 1. Функция – аналитическая во всей комплексной плоскости. Поэтому ее вещественная частьи мнимая частьявляются гармоническими функциями.

Пример 2. Любая ветвь функции является аналитической функцией, поэтому ее вещественная и мнимая частииявляются гармоническими функциями.

Задача 1. Восстановить аналитическую функцию по заданному аргументу.

Ряд важных свойств гармонических функций следует из известной формулы Грина ([5], гл. V, § 10)

, (2)

в которой - некоторая область,- граница,и– непрерывно дифференцируемые вфункции. Действительно, если криваякусочно-гладкая, функцииидважды непрерывно дифференцируемы ви- производная функциипо направлению внешней нормали к кривой, то

где - угол, образованный внешней нормалью к кривойи осью- дифференциал длины дуги,. Положив в (2), получим

(3)

Если , а- гармоническая вфункция, то из (3) следует

. (4)

Если и- гармонические вфункции, то из (3) получим

. (5)

Задача 2. Являются ли гармоническими следующие функции:

1) ; 2)(() – полярные координаты точки).

Задача 3. Найти все гармонические функции, зависящие только от ; только от; только от(в цилиндрической системе координат).

Формула (3) легко обобщается на случай функций трех переменных. Действительно, если - кубируемое тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностьюФ, то, положив в формуле Остроградского-Гаусса (7) § 2 ,, приходим к формуле

. (6)

Меняя местами ив (6) и почленно вычитая полученное при этом равенство из (6), получим формулу

. (7)

В частности, если игармонические вфункции, то

. (8)

Формулы (6) и (7) называются формулами Грина.