Глава I. Векторный анализ (теория поля)

Векторный анализ – это часть векторного исчисления, в которой векторные функции (векторные поля) изучаются средствами математического анализа.

§ 1. Основные дифференциальные операции векторного анализа

Определение 1. Функция f с областью определения , значениями которой являются векторы, называетсявектор-функцией (векторной функцией, векторным полем). Если значениями являются вещественные числа, то f называется скалярной функцией (скалярным полем).

Пример 1. Пусть - точка из множествас координатами, и пусть,,- скалярные функции, определенные на. Векторное поле вможно задать равенством(здесь- ортонормированный базис в).

Пример 2. Пусть - скалярные функции скалярного аргумента. Тогда

(1)

является вектор-функцией одного аргумента .

Определение 2. Годографом вектор-функции (1) при называется множество точек из, соответствующих концам векторов, отложенных из начала координат (рис. 1). Если- промежуток и функциинепрерывны на, то годограф вектор-функцииявляется кривой в.

Если интерпретировать как время, а- как координаты некоторой движущейся точки в момент времени, тогодограф можно понимать как траекторию этой точки.

Поле, не зависящее от времени, называют стационарным. В противном случае поле называют нестационарным.

Для скалярных полей обычным образом вводятся понятия непрерывность в точке и на множестве, поверхность (линия) уровня, производная по направлению, градиент ([5], гл. IV).

Задача 1. Написать уравнение поверхности (линии) уровня для данной скалярной функции. Сделать рисунки.

1) ; 2).

Задача 2. Найти производную скалярного поля в точкепо направлению:

1) ;

2) ,,.

Задача 3. Найти градиент поля в произвольной точке и в точке:

1) ; 2)

3) 4)

Задача 4. Пусть и- скалярные поля. Доказать равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Определение 4. Производной вектор-функции в точкеназывается предел(обозначается также).

Производная в точке- это направляющий вектор касательной к годографу вектор-функциив точке(рис. 1). Если вектор-функцияпредставлена равенством (1), то

Если вектор-функцию рассматривать как закон движения точки по кривой, то производнаяравна скорости движения этой точки.

Задача 5. Пусть ,вектор-функции вида (1). Обозначим черезскалярное, а через- векторное произведение¹ векторов и. Доказать, что

1) 2).

Задача 6. Доказать, что касательные к кривой, заданной вектор-функцией , образуют постоянный угол с плоскостьюОху. Сделать рисунок.

Как было сказано, вектор-функции одного аргумента можно использовать для задания кривой. Для задания поверхности в естественно использовать вектор-функции двух аргументов:

. (2)

Задача 7. Построить вектор-функции, задающие следующие поверхности:

1) плоскость, проходящую через точки ;

2) верхнюю полусферу радиуса с центром в начале координат;

3) конус с вершиной в точке и направляющей;

4) поверхность, образованную вращением параболы вокруг оси.

Для характеристики векторных полей вводится ряд понятий:векторная линия, векторная трубка, циркуляция, ротор (вихрь), дивергенция и др.

Определение 5. Пусть в области задано векторное поле. Линия, лежащая в, называетсявекторной линией (линией тока) этого поля, если вектор касательной в каждой ее точке направлен по вектору(рис. 2). Часть области, состоящая из векторных линий, называетсявекторной трубкой (рис.2).

Если прибегнуть к гидродинамической интерпретации поля как поля скоростей стационарного потока жидкости, товекторные линии – это траектории частиц жидкости.

Задача 8. Доказать, что если поле задано вравенством

,

то для отыскания векторных линий нужно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (3)

с произвольной функцией . Решения,,параметрически зададут векторные линии. Выбор функциивлияет только на способ параметризации этих линий.

Пример 3. Найдем все векторные линии поля и, в частности, ту, которая проходит через точку.

Решение. В формуле (3) возьмем и решим систему уравнений. Получим параметрические уравнения векторных линий. Положив здесь, найдем постоянныеи векторную линию, проходящую через точку.

Задача 9. Найти векторные линии поля:

1) 2)

Пусть на гладкой или кусочно-гладкой кривой ввыбрано направление и определено непрерывное поле.

Определение 6. Циркуляцией (вращением) векторного поля вдоль кривой называется криволинейный интеграл первого рода(здесь). Если- силовое поле, то циркуляцию полявдоль кривойможно истолковать какработу этого поля по перемещению пробного тела по кривой . В координатной форме

.

Пример 4. Найти работу поля вдоль винтовой линии, определенной вектор-функцией.

Решение. Работа . Так как, то

Задача 10. Вычислить циркуляцию векторного поля по дуге.

Задача 11. Доказать, что работа центрального силового поля вдоль любой замкнутой кривой равна нулю.

Определение 7. Дивергенцией (расхождением) векторного поля

называется сумма

.

Если вектор интерпретировать как скорость частицы в установившемся течении жидкости, тов точкехарактеризуетинтенсивность источника или стока, находящегося в этой точке, или отсутствие источника и стокаВекторное поленазываетсясоленоидальным, если во всех точках, в которых определено поле.

Задача 12. Доказать свойства дивергенции:

1) 2);

3) (- оператор Лапласа,- скалярная функция точки).

Задача 13. 1) Найти дивергенцию поля в точке.

2) Выяснить, является ли поле соленоидальным.

Определение 8. Ротор (вихрь) векторного поля

это вектор-функция, обозначаемая и имеющая удобную формальную запись в виде "определителя"

(4)

В частности, для плоского поля получаем. Поленазываетсябезвихревым, если .

Поясним механический смысл ротора векторного поля. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси с постоянной угловой скоростью(рис. 3). Векторное поле скоростей точекэтого поля можно представить в виде

,

где- вектор, параллельный плоскости, начало которого расположено на оси, конец – в точкетела. Найдем ротор поля. По формуле (4) получим. Таким образом, роторявляется вектором, направленным вдоль оси вращения тела, а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

Задача 14. Найти ротор векторного поля в произвольной точкепространства. Найти.

Задача 15. Найти в точке, если.

Задача 16. Пусть - радиус вектор точки. Доказать, что поле является безвихревым, т.е..

Задача 17. Пусть - векторные поля,- скалярная функция. Доказать:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , где оператор Ла-пласа.

Определение 9. Векторное поле называетсяпотенциальным полем, если оно является градиентом некоторой скалярной функции :. Функцияназывается при этомпотенциалом векторного поля .

Если в односвязной области задано потенциальное поле, то потенциалэтого поля можно найти по формуле

, (5)

где - любая гладкая кривая, лежащая ви соединяющая некоторую фиксированную точкус точкой. Таким образом, потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого. Действительно, из равенстваследует система уравнений,,. Решив эту систему, получим требуемый результат (5) (см.[5], § 10, гл.V).

Задача 18. Доказать, что для потенциальности векторного поля , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы поле было безвихревым, т. е. чтобы.

Задача 19. Доказать, что поле является потенциальным и найти его потенциал:

1)

2)

Задача 20. Найти потенциал центрального силового поля тяготения, создаваемого точечной массой .

Задача 21. Задать ,,ив цилиндрической и сферической (полярной) системах координат.

Задание дифференциальных операций упрощается, если использовать оператор Гамильтона

,

называемый также "вектором набла" или "оператором набла" . При этом, если - скалярное поле, - векторное поле, то

,

,

.

Задача 22. Доказать следующие свойства оператора :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)