· Координати вектора у взаємних базисах

Координати вектора x у базисі будемо, як і раніше, позначати символом і подавати у вигляді вектор-стовпчика , а у базисі – символом й об'єднувати у вектор-рядок Тоді, розклад вектора x за векторами базису виглядатиме як

(3.17)

або

(3.18)

Утворивши скалярні добутки правих і лівих частин рівностей (3.17) і врахувавши, що одержуємо дуже зручні формули для визначення координат векторів

(3.19)

та формули Гібса¹ для розкладу вектора x за векторами базису. Ці формули мають такий вигляд:

(3.20)

Встановимо зв'язок між координатами вектора в базисі і базисі, взаємному до нього. Із (3.19) і (3.20) безпосередньо випливає, що тобто

(3.21, а)

У такий самий спосіб знаходимо, що

(3.22, а)

Ці ж формули часто записують у вигляді матричних співвідношень

(3.21, б)

(3.22, б)

Формули (3.17), (3.18), (3.21) та (3.22) ведуть до таких виразів для скалярного добутку двох векторів:

(3.23, а)

або еквівалентних до них матричних співвідношень:

(3.23, б)

Дуже важливими для розв'язання широкого кола задач є формули, що пов'язують між собою координати одного й того самого вектора у двох різних базисах. Одну з таких формул вже було знайдено (див. (2.10) у § 12). Інші можуть бути знайдені у такий точно спосіб і записані у двох еквівалентних виглядах:

(3.24, а)

або

(3.24, б)

Корисно порівняти вирази (3.24) із формулами перетворення базисних ортів (3.15), які доцільно переписати у такому порядку:

(3.25, а)

(3.25, б)

Порівняння веде до такого висновку: координати перетворюються при заміні базису однаково (коваріантно) з ортами Водночас, якщо орти перетворюються на за допомогою елементів матриці Т, то координати перетворюються на за допомогою елементів оберненої матриці Тому кажуть, що величини перетворюються контраваріантно з ортами

3.60. Означення. Величини називають коваріантними, а – контраваріантними координатами вектора x.

3.61. Означення. Базис називають контраваріантним, а взаємний до нього базис – коваріантним.

Згідно з виразами (3.17), контраваріантні координати є коефіцієнтами розкладу вектора в контраваріантному базисі, а коваріантні – у коваріантному, що й пояснює логіку даних означень.

3.62. Зауваження. Якщо контраваріантний базис є ортонормованим, то він збігається з коваріантним базисом , а отже, контраваріантні координати вектора в ортонормованому базисі не відрізняються від відповідних коваріантних координат:

3.63. Зауваження. Дотепер не згадувалось про такі важливі математичні об'єкти, як тензори, але зараз, для читачів, знайомих з поняттям тензора, зазначимо, що коваріантні координати вектора утворюють коваріантний тензор першого рангу, а контраваріантні координати – контраваріантний тензор першого рангу. Елементи матриці Грама утворюють два рази коваріантний метричний тензор, а елементи оберненої матриці складають два рази контраваріантний тензор. Символи Кронекера утворюють одиничний тензор або один раз коваріантний і один раз контраваріантний метричний тензор.