§ 30. Взаємні базиси · Означення взаємного базису, приклади

Розглянемо два базиси і у n-вимірному просторі Евкліда.

3.50. Означення. Базис називають взаємним до базису , якщо виконуються такі співвідношення:

(3.11)

Наведемо приклади для геометричних векторів на площині.

3.51. Приклад. Базисом взаємним до базису є базис тобто обидва базиси збігаються.

& Справді, %

3.52. Приклад. Розглянемо ортогональний базис, що складається з

Рис. 5

векторів довільної довжини (рис. 5). Взаємний до нього базис складається з векторів напрямки яких збігаються з напрямками (відповідно), а довжини визначаються рівностями

& Дійсно, у такому разі а оскільки %

3.53. Приклад. Розглянемо косокутний базис , що складається

Рис. 6

з векторів довільної довжини (рис. 6). Будемо шукати вектори взаємного базису у вигляді розкладу за векторами вихідного базису: (3.12)

Коефіцієнти розкладу є координатами векторів взаємного базису у вихідному базисі. Зі співвідношень (3.11) випливає, що

Ці формули еквівалентні матричному рівнянню

(3.13, а)

Перший множник у лівій частині рівняння (3.13, а) є матрицею Грама G базису Оскільки, визначник матриці Грама будь-якого базису не дорівнює нулю, рівняння має розв'язок

ОШИБКА!!!!!!!! Внести исправление!!!!!!

який дозволяє записати такі вирази для векторів взаємного базису (3.12):

· Властивості взаємних базисів

3.54. Властивість. Для кожного базису існує один-єдиний взаємний базис.

& Розглянемо базис у просторі Евкліда. Будь-який вектор цього простору можна розкласти за векторами базису: Щоб вектори утворювали базис, взаємний до розглядуваного, вони мають задовольняти співвідношення (3.11), тобто

або

(3.13, б)

Оскільки, базис заданий, співвідношення (3.13, б) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь для координат векторів у цьому базисі, причому, коефіцієнти системи є відомими елементами матриці Грама цього базису. Оскільки, визначник матриці Грама не дорівнює нулю, то за теоремою Крамера існує один-єдиний розв'язок системи рівнянь (3.13, б). Цьому розв'язку відповідає єдина добірка векторів яка є базисом, взаємним до розглядуваного.%

3.55. Властивість. Якщо базис є взаємним до базису то й навпаки, базис є взаємним до .

& Випливає із симетрії співвідношень (3.11) відносно переставлення %

3.56. Властивість. Матриця Грама будь-якого базису є матрицею переходу від цього базису до взаємного йому.

& Нехай, як і раніше, є елементами матриці Грама, а – еле­ментами матриці переходу. Тоді, .%

3.57. Властивість. ¹.

& Згідно з попередньою властивістю, тому

%

3.58. Властивість. Нехай G є матрицею Грама базису . Тоді матриця Грама взаємного базису G¢ є оберненою щодо G.

& Нехай, як і раніше, матриця є матрицею переходу від до взаємного базису а матриця – матрицею зворотного переходу. Тоді, за властивістю 3.56 Отже, %

3.59. Властивість. Нехай базис є взаємним до а базис – взаємним до Якщо матриця є матрицею переходу від до то матриця переходу від до дорівнює

&Позначимо матрицю переходу від до як Тоді, З означення взаємного базису випливає, що

тобто Отже, %

Наведемо повне зведення формул перетворення базисних векторів поряд з еквівалентними формулами перетворення вектор-стовпчиків

і вектор-рядків

.

Ці формули мають такий вигляд:

(3.14)

(3.15)

(3.16)