· Ортогональні матриці

3.42. Означення. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису називається ортогональною.

3.43. Властивість. Якщо матриця T ортогональна, то або, що те саме,

& Якщо два базиси ортонормовані, то їх матриці Грама дорівнюють одиничній матриці. Тоді співвідношення (3.10) набуває вигляду а отже, Тепер пригадаємо, що матрицею, оберненою до матриці T, за означенням називають матрицю , яка задовольняє рівність звідки й випливає подана властивість ( оскільки, як відомо, %

3.44. Властивість. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

& Із попередньої властивості випливає, що а за відомими теоремами з теорії визначників Отже, звідки стає очевидною вказана властивість.

3.45. Властивість. Стовпчики і рядки ортогональної матриці T задовольняють співвідношення

& Дані співвідношення є векторною формою запису матричної рівності Останнє стає очевидним, коли зважити на те, що цю матричну рівність можна записати у вигляді співвідношення між елементами матриці: %

§ 29. Лінійна залежність і незалежність векторів у просторі Евкліда

3.46. Означення. Матрицею Грама системи векторів називають матрицю з елементами

3.47. Теорема. (Критерій лінійної залежності векторів у п-вимірному просторі Евкліда).

Для того, щоб вектори системи були лінійно залежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи дорівнював нулю.

3.48. Теорема. (Критерій лінійної незалежності векторів у n-вимір­ному просторі Евкліда).

Для того, щоб вектори системи були лінійно незалежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи не дорівнював нулю.

& Необхідність теореми 3.47: нехай вектори системи лінійно за­лежні. Тоді, існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нульовому вектору, тобто Скалярний добуток цієї лінійної комбінації на вектор системи дорівнює нулю, а отже, Остання рівність є умовою лінійної залежності рядків матриці Грама. Якщо рядки матриці лінійно залежні, її визначник, як відомо, дорівнює нулю %.

& Необхідність теореми 3.48: нехай вектори системи лінійно незалежні. Сукупність усіх лінійних комбінацій векторів цієї системи є простором вимірності який називають лінійною оболонкою векторів системи (справедливість цього твердження читачеві корисно провести самостійно, виходячи з означення лінійного простору). За означенням 2.43 система є базисом лінійної оболонки. За властивістю 3.40 матриця Грама будь-якого базису є додатньою, а отже, не дорівнює нулю %.

Достатність поданих вище теорем легко доводиться від супро­тивного.

· Узагальнення нерівності Коші – Буняковського

Поєднання критеріїв лінійної залежності та незалежності векторів дозволяє сформулювати таке твердження: визначник Грама будь-якої системи векторів невід'ємний причому дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори системи лінійно залежні.

Наведемо приклад, який показує, що подане твердження можна вважати узагальненням нерівності Коші – Буняковського.

3.49. Приклад. Розглянемо систему двох векторів. Для такої системи

Розкриваючи визначник, одержуємо нерівність

що збігається з нерівністю (3.3).