· Процес ортогоналізації

3.32. Означення. Процесом ортогоналізації називають процес (алгоритм) побудови ортонормованої системи з наданих лінійно незалежних векторів

Суть процесу ортогоналізації вже фактично було пояснено в ході доведення теореми 3.31. Зі сказаного безпосередньо випливає, що орти системи слід будувати один за одним, за допомогою таких співвідношень:

де

Наведена схема ортогоналізації пояснюється таким чином: оскільки система векторів лінійно незалежна, то: а) у ній немає нульового вектора, а значить, за орт e₁ можна взяти вектор

Рис. 3

б) вектор x2 не паралельний до x1, тому існує ненульовий вектор , перпендикуляр­ний до e1, а тому, як e2 можна взяти і т. д. Процесу ортогоналізації можна надати простий геометричний зміст, проілюстрований рисунком (рис. 3).

3.33. Зауваження. Виходячи з конкретної системи лінійно неза­лежних векторів, за допомогою процесу ортогоналізації можна побудувати різні ортонормовані системи, по-різному нумеруючи вектори вихідної системи. Це ж саме стосується й ортонормованих базисів у просторі Евкліда. Оскільки, у просторі Евкліда вимірності існують різні системи лінійно незалежних векторів, у цьому просторі загалом існує безліч ортонормованих базисів.

§ 28. Матриця Грама · Вираз скалярного добутку через координати векторів-співмножників

Розглянемо довільний базис у просторі Евкліда. Будь-які вектори x та y цього простору можна розкласти в цьому базисі: , Враховуючи аксіоми 2) і 3) із означення 3.13, маємо

3.34. Означення. Матрицю, елементами якої є скалярні добутки векторів базису називають матрицею Грама базису й у зв'язку з її назвою позначають літерою G. Отже,

(3.6)

де введено позначення

Враховуючи введені позначення, одержуємо два еквівалентних вирази скалярного добутку векторів x та y:

(3.7)

де, як і раніше, символами та позначено координатний рядок і стовпчик вектора x та y, відповідно.

· Приклади матриць Грама і формул для обчислення скалярного добутку векторів

3.35. Приклад. Матриця Грама ортонормованого базису дорівнює одиничній матриці, тобто а вирази (3.7) набувають вигляду

3.36. Приклад. Матриця Грама косокутного базису на площині в очевидний спосіб пов'язана з довжинами e₁, e₂ векторів базису та кутом між ними (рис. 4):

Рис. 4

Формули (3.6) набувають такого вигляду:

(3.8)

3.37. Приклад. Матриця Грама косокутного базису у тривимірному просторі геометричних векторів виражається в термінах довжин цих векторів e₁, e₂, e₃ і кутів та між e₁ і e₂, e₁ і e₃ та e₂ і e₃^, відповідно

Формули (3.6) у даному випадку можна переписати у вигляді

(3.9)

· Зв'язок між матрицями Грама різних базисів

Розглянемо два базиси та з матрицями Грама і , відповідно. Нехай матриця переходу від нештрихованого базису до штрихованого, тобто У такому разі, за означенням матриці Грама,

Таким чином, зв'язок між матрицями Грама двох різних базисів визначається співвідношенням

(3.10)

де – транспонована матриця переходу.

Виходячи із означення 3.34 і зважаючи на співвідношення (3.10), можна встановити основні властивості матриці Грама.

3.38. Властивість. Матриця Грама будь-якого базису є симетричною матрицею, тобто або, що те саме,

& Випливає з виразів (3.6) і комунікативності скалярного добутку%

3.39. Властивість. Визначник матриці Грама будь-якого базису дорівнює квадрату визначника матриці переходу від деякого ортонормованого базису до

& Згідно з властивістю 3.29 вихідний базис завжди може бути ортогоналізований шляхом утворення лінійних комбінацій базисних векторів, тому існує матриця переходу від цього базису до ортонормованого, а отже, існує і матриця Т переходу від ортонормованого базису до . Оскільки, матриця Грама ортонор­мованого базису є одиничною матрицею, з (3.10) випливає, що матриця Грама вихідного базису задовольняє співвідношення Із теорії визначників відомо, що а також, Таким чином, приходимо до висновку, що %

3.40. Властивість. Визначник матриці Грама будь-якого базису є додатним.

& Безпосередньо випливає з попередньої властивості, коли врахувати, що матриця переходу є невиродженою (неособливою), тобто (див. властивість 2.57).%

3.41. Наслідок. Із властивості 3.40 випливає, що матриця Грама невироджена, а тому існує матриця обернена до неї. Оскільки матриця Грама симетрична, обернена матриця також є симетричною. Визначник оберненої матриці є додатним: