3.22. Доведення нерівності Коші – Буняковського.

& Для виконання нерівності Коші – Буняковського (3.3) є очевидним, тому проведемо подальше доведення, вважаючи вектор y ненульовим. Розглянемо вектор За аксіомою 4) означення скалярного добутку та наслідку 3.16 маємо, що Використовуючи аксіоми 1) та 2), одержуємо умову з якої безпосередньо випливає нерівність (3.3).%

3.23. Зауваження. Рівність у співвідношенні (3.3) має місце тоді й лише тоді, коли вектори x та y лінійно залежні. (У подальшому доведемо теорему, що включає дане твердження як окремий випадок, тому зараз приймемо його без доведення).

·Нерівність трикутника

З нерівності Коші – Буняковського випливає ще одна проста і корисна нерівність. Її записують у вигляді

(3.4)

і називають нерівністю трикутника, оскільки в окремому випадку геометричних векторів вона показує, що сторона трикутника менше суми двох інших його сторін.

& Справедливість нерівності трикутника випливає з такого ланцюжка алгебраїчних перетворень, які базуються на властивостях скалярного добутку та нерівності (3.3):

Проведені перетворення показують, що знак рівності в (3.4) справедливий тоді й лише тоді, коли тобто, коли кут між векторами x та y дорівнює нулю.

§ 27. Ортонормовані системи векторів

3.24. Означення. Вектори x та y називають ортогональними (або перпендикулярними), якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Формула (3.2) показує, що кут між ненульовими ортогональними векторами x та y дорівнює 90^о, як це і має бути. Коли хоча б один із векторів дорівнює нулю, права частина рівняння (3.2) втрачає зміст, але дане вище означення охоплює також і цей випадок: оскільки нульовий вектор не має певного напрямку, його вважають ортогональним будь-якому вектору.

3.25. Властивість. Лише нульовий вектор є ортогональним будь-якому вектору.

& Якщо то це має справджуватись, зокрема, і для Але тоді й лише тоді, коли вектор x має нульову довжину, тобто є нульовим вектором.%

· Символи Кронекера1

3.26. Означення. Символами Кронекера називають величини, що визначаються такими рівностями:

(3.5)

Зручно вважати, що є елементами одиничної матриці порядку k. Надалі, залежно від ситуації, будемо розташовувати індекси символів Кронекера або знизу ( ), або зверху ( ), або один знизу, а інший зверху ( ).

3.27. Означення. Систему k векторів простору називають ортонормованою, коли

3.28. Властивість. Вектори ортонормованої системи лінійно незалежні.

& Щоб довести цю властивість, досить довести, що будь-яка нульова лінійна комбінація векторів ортонормованої системи є тривіальною. Отже, покладемо і доведемо, що в такому разі Для цього зауважимо, що

Ліва частина останньої рівності є сумою, у якій не є нулем лише доданок з Цей доданок дорівнює а отже, %

3.29. Властивість. З векторів будь-якої лінійно незалежної системи можна побудувати лінійні комбінації , які є ортонормованою системою векторів.

& Доведемо дане твердження за методом математичної індукції.

1. Оскільки, вектори системи лінійно незалежні, серед них немає нульового вектора, а отже, за перший вектор ортонормованої системи можна обрати

2. Припустимо, що вдалося побудувати ортонормовану систему векторів . Доведемо, що з векторів можна побудувати орт , перпендикулярний до всіх ортів системи . Будемо шукати його у вигляді де

Оскільки всі вектори є лінійними комбінаціями векторів то й є лінійною комбінацією векторів Тепер зазначимо: а) якщо то вектор (рівність його нулю вказувала б на існування нетривіальної нульової комбінації лінійно незалежних векторів ); б) завжди можна обрати щоб було тобто, щоб був ортом; в)  тому що

Із тверджень а) – в) випливає, що існує ортонормована система а отже, логічну схему математичної індукції завершено.%

3.30. Означення. Базис у просторі називають ортонормованим, якщо його вектори утворюють ортонормовану систему.

3.31. Теорема. У будь-якому просторі Евкліда існує ортонормований базис.

& У , як і в кожному просторі вимірності n, існує n лінійно незалежних векторів. Згідно зі щойно доведеною властивістю, із цих векторів можна утворити ортонормовану систему яка за означеннями 2.43 та 3.30 є ортонормованим базисом.%