4.5. Приложения теории подобия к конвективным процессам диффузии и термокинетики

Теория подобия дает возможность результаты проведенного эксперимента обрабатывать с помощью специально выбранных безразмерных величин и получать конечные уравнения, пригодные для расчета группы подобных процессов.

Рассматривая класс определенных явлений, обычно используют одинаковые дифференциальные уравнения или системы дифференциальных уравнений, являющиеся их математической моделью. Такими моделями служат, например, дифференциальные уравнения диффузии и термокинетики в неподвижной среде. Однако процессы одного класса могут различаться конкретными условиями их проведения – условиями однозначности.

Явления, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями или системой дифференциальных уравнений и имеющие подобные условия однозначности, образуют группу подобных явлений. Это основная теорема теории подобия, предложенная М.В.Кирпичевым и А.А.Гусевым.

В условия однозначности обычно входят геометрические характеристики системы; физические свойства, имеющие отношение к данному явлению; временные условия, характеризующие состояние системы в исходный (начальный) момент времени; условия взаимодействия с окружающей средой.

Условия подобия могут быть рассмотрены на примере геометрической характеристики явлений. Пусть имеются условная установка и ее модель для нагрева полупроводниковых пластин. Установки будут подобны, если выполняются соотношения

где верхний индекс относится к модели установки; нижние индексы – к сходственным геометрическим параметрам; с_i –константа геометрического подобияили множителя геометрического преобразования, которая является отношением сходственных геометрических параметров установки и ее модели.

Аналогичная характеристика подобия может быть распространена на физические параметры явления. В этом случае для значений параметров установки и модели в сходственных точках в сходственные моменты времени должны выполняться условия:

где с_Т, с_W, c_a – константы подобия температуры, скорости, температуропроводности, которые характеризуют рассматриваемое явление. В двух подобных явлениях константы подобия должны быть одинаковы.

Из выражений для констант подобия можно получить соотношения

;

Полученные выражения носят названия инвариантов подобияи представляют собой отношение несходственных параметров ряда процессов. В подобных явлениях значения инвариантов для каждого из параметров должны быть одинаковыми.

Из математического описания процесса или граничных условий может быть получен сложный инвариант подобия, состоящий из нескольких параметров, характеризующих процесс. Такой инвариант подобия носит название критерия подобия. Как и простой инвариант подобия, критерий подобия – всегда безразмерная величина и в подобных явлениях значения критериев подобия должны быть одинаковыми.

Дифференциальные уравнения для стационарной конвективной термокинетики в образце и модели для одномерного случая имеют следующий вид:

(4.12)

Выразим величины второго дифференциального уравнения (4.12) через величины первого и константы подобия: u₁ = c_Wu;T₁ = c_TT;a₁ = c_aa;x₁ = c_ix. Теперь второе уравнение (4.12) можно записать в виде

(4.13)

Полученное соотношение, называемое индикатором подобия, накладывает жесткое требование на соотношение констант подобия: в подобных явлениях индикатор подобия равен единице.

Заменяя в (4.13) константы подобия величинами, характеризующими процесс, для трехмерного случая можно записать критерий Пекле:

Pe = WL/a. (4.14)

Этот критерий представляет собой отношение скорости переноса теплоты за счет движения среды (конвективная составляющая) к скорости переноса теплоты за счет теплопроводности (коэффициент теплопроводности входит в коэффициент температуропроводности).

Аналогично можно найти второй критерий – критерий Нуссельта:

Nu = L, (4.15)

где  - коэффициент теплоотдачи;  - коэффициент теплопроводности.

Для определения достаточного количества критериев, необходимых для описания конвективной термокинетики, воспользуемся  - теоремой. Согласно этой теоремечисло критериев, характеризующих процесс, равно разности между числом характеризующих явление физико-химических величин и числом основных единиц измерения, входящих в эти величины.

Число физико-химических величин, характеризующих стационарный процесс, равно шести: скорость W, температураТ, коэффициент температуропроводностиа, длинаL, коэффициент теплоотдачии коэффициент теплопроводности. Число единиц измерения, характеризующих это явление, 4: м, с, К, кг. Следовательно, число критериев должно быть равно двум. Эти два критерия: критерий Пекле (Ре) и критерий Нуссельта (Nu).

Если процесс будет нестационарным, то появится еще одна физико-химическая величина – время t,а число простых единиц измерения не увеличивается. Следовательно, при описании нестационарной конвективной термокинетики нужно иметь еще один критерий. Данный критерий называетсякритерием гомохорности(Но) и представляет относительное время:

. (4.16)

Аналогично можно получить критерии, характеризующие газодинамику процессов:

Но = Wt/L– критерий гомохорности;

Eu = P(W²)– критерий Эйлера;

Fr = gL/W²– критерий Фруда;

Re = WL/- критерий Рейнольдса.

Каждый критерий имеет определенный физический смысл. Критерий гомохорности выражает относительное время (отставание или опережение процесса во времени в точках системы); критерий Эйлера - отношение сил давления к силам инерции; критерий Фруда – отношение сил тяжести к силам инерции; критерий Рейнольдса – отношение сил инерции к силам внутреннего трения (вязкости).

Процесс конвективной диффузии характеризуется шестью физико-химическими величинами: концентрация, диффузия, массоотдача, скорость потока, длина, время. Эти величины содержат три основных единицы измерения: моль, м, с. В общем виде критериальное уравнение записывается в виде: Sh = f(Ho, Pe_д)– критерий Шервуда.