4.3. Дифференциальное уравнение сохранения субстанции

Технологические процессы могут быть стационарнымиинестационарными.

Стационарныепроцессы характеризуются постоянством во времени всех его параметров (). В этом случае концентрация компонентов, плотность движущейся среды, температура и скорость движения среды зависят лишь от координаты рассматриваемой точки системы. Расчет таких процессов удобно проводить по уравнениям (4.5) и (4.6), так как при этом плотности потоков компонента и теплоты постоянны.

Для нестационарныхпроцессов параметры зависят от времени, т.е. частные производные по времени не равны нулю. Использовать в этом случае для расчетов уравнения (4.5) и (4.6) неудобно, так какпоэтому необходимо записать дифференциальные уравнения нестационарных конвективных процессов движения среды, диффузии и термокинетики.

Для вывода общего дифференциального уравнения нестационарных процессов сохранения субстанций выделим внутри тела объем Vс окружающей его поверхностьюF. Для общности вывода обозначим черезПплотность субстанции, а через- ее количество в рассматриваемом объеме. Тогда для всего объемаVможно записать:.

Скорость изменения количества субстанции в отсутствие ее источников и стоков можно выразить также через плотность потока через поверхность: . Заменив в последнем уравнении с использованием теоремы Остроградского – Гаусса интеграл по поверхности интегралом по объему и учитывая приведенное выше уравнение, получаем:

(4.7)

т.е. дивергенция вектора плотности потока равна генерации плотности субстанции, взятой с обратным знаком.

При наличии внутри объема источников или стоков субстанции последнее уравнение принимает вид

(4.8)

где ₁– объемная мощность источника (₁ > 0) или стока субстанции (₁ < 0).

Уравнение (4.8) является общим уравнением сохранения субстанции (нестационарных процессов переноса). При его выводе мы не задавались какой-либо системой координат, поэтому оно справедливо независимо от ее выбора.

4.4. Уравнение неразрывности несжимаемой среды

В газодинамике (гидродинамике) используются обобщенные понятия «среда» или «жидкость», включающие как собственно жидкость, так и газы, и пары.

Различают сжимаемую и несжимаемую (капельную) среды. У сжимаемых сред плотность зависит от давления, у несжимаемых – не зависит. Так как скорость движения среды в технологическом реакторе определяется перепадом давления на его длине, то изменение плотности среды на длине реактора связано со скоростью движения в нем среды (возрастает при ее увеличении). Практически к несжимаемым средам можно отнести такие, у которых относительное изменение плотности не превышает пяти процентов (  0,05). При этом отношении, равном 0,05, скорость движения приблизительно составляет 100 м/с. В процессах полупроводниковой технологии обычно используются значительно меньшие скорости. Поэтому используемые парогазовые смеси можно отнести к несжимаемым.

Для движущейся среды плотностью субстанции в уравнении (4.8) является ее плотность . При отсутствии источников и стоков и с учетом того, что для несжимаемой среды из уравнения (4.8) сразу получаем дифференциальное уравнение неразрывности среды:

(4.9)

Плотность потока движущейся среды выражается через ее скорость и плотность уравнением

(4.10)

Так как и для несжимаемой средыто окончательно дифференциальное уравнение неразрывности среды принимает вид

(4.11)

где u, v, w– компоненты скорости по координатамx, y, z.